Baricentro

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Las medianas de un triángulo son los segmentos determinados por los vértices y los puntos medios de los lados opuestos del triángulo.
Es conocido que las tres medianas se cortan en un punto llamado baricentro y que el baricentro, también llamado centroide, es el centro de masa del triángulo y son conocidos los experimentos prácticos de Arquímedes (http://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedes) con la finalidad de localizar el centro de gravedad usando planchas metálicas finas y uniformes con forma de triángulo.

Las medianas son cevianas y el hecho de que se corten en un punto es una consecuencia inmediata del teorema recíproco del teorema de Ceva: http://www.matematicainteractiva.com/teorema-de-ceva

Vamos a analizarlo desde otro punto de vista usando la siguiente imagen (más abajo se puede ver una aplicación diseñada con Geogebra).

baricentro y medianas de un triángulo

En el triángulo ABC, los puntos M, N y L son los puntos medios de los lados. Consideramos las medianas correspondientes a los vértices B y C y designamos a su punto de intersección por G.
El segmento LN es paralelo a la base BC del triángulo ABC y por tanto es paralelo a la base y mide la mitad que la base BC (LN es paralela media).
Designamos por H e I a los puntos medios de los segmentos BG y CG. El segmento HI es paralela media del triángulo GBC y por tanto es paralelo a la base y mide la mitad que la base BC.
La conclusión es que LN y HI son segmentos paralelos y tienen la misma longitud. Por ello LHIN es un paralelogramo y sus diagonales se cortan en su punto medio, de lo que se deduce: HG = GN y además la medida anterior coincide con BH por la construcción de H. Es decir que el punto G "triseca" las dos medianas consideradas. Eligiendo cualquiera de las dos medianas consideradas y la tercera mediana (AM) y repitiendo el razonamiento anterior, se deduce que las tres medianas se cortan en G y que la propiedad métrica mencionada se cumple para las tres medianas.


BIBLIOGRAFÍA Y ENLACES:

Coxeter, Introduction to Geometry Second Edition, John Wiley & Sons, p 10-11

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