Bisección de un triángulo

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Hace un tiempo estuve trabajando en un problema interesante. Se trata de encontrar todas las rectas que dividen un triángulo en dos partes con áreas equivalentes.

La obtención de dichas rectas a partir de un punto situado sobre uno de los lados constituye un problema creativo que presenta muchísimos retos nuevos.

¿Cuál es la expresión analítica de las envolventes de esas rectas? ¿Se pueden generar mecánicamente? ¿Qué relación hay entre una deltoide y las tres ramas hiperbólicas correspondientes? ¿Qué sucede si no se trata de biparticionar el triángulo, sino de encontrar rectas que dividan el triángulo original en dos partes cuyas áreas mantienen una proporción dada (p. ej.: 1:2, 1:3)? De todas las rectas del problema original, ¿cuáles son las que además dividen el perímetro en dos partes iguales? ¿Se puede usar el método de Montecarlo para obtener una estimación (geometría computacional) de la recta que biparticiona el triángulo y que pasa por un punto interior del mismo? Un montón de preguntas interesantes se abren ante una cuestión aparentemente simple.

Bibliografía relacionada con el asunto:

  1. Halving a Triangle, Author(s): Jas. A. Dunn and Jas. E. Pretty, Source: The Mathematical Gazette, Vol. 56, No. 396 (May, 1972), pp. 105-108
  2. Bisectors of Triangles and Tetrahedra, Author(s): W. A. Beyer and Blair Swartz, Source: The American Mathematical Monthly, Vol. 100, No. 7 (Aug. - Sep., 1993), pp. 626-640
  3. Néstor Aguilera, El baricentro y la divisón en dos partes de igual área

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