Catenaria determinada por dos puntos de sujeción y por la longitud de la misma

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En esta página se puede ver una aplicación realizada con Geogebra que permite visualizar una curva catenaria determinada por la posición de los dos puntos de sujeción de la cadena, puntos no situados necesariamente a la misma altura, y por la longitud del arco de catenaria que determinan.
En primer lugar puede verse la aplicación y después, más abajo, las explicaciones técnicas.
El aplicación está diseñada con código html 5, por lo que no será visible desde navegadores antiguos. En su diseño he tenido que usar CAS, concretamente el comando Root para obtener ciertos parámetros como raíz de curvas no polinómicas, sino trascendentes, lo que puede dar lugar a pequeños errores dependiendo de la posición de los puntos y de la longitud elegida. En cualquier caso, funciona bastante bien.

¿QUÉ ES UNA CATENARIA?:
Es la curva descrita en un campo gravitatorio uniforme por un hilo de densidad uniforme cuando este se suspende de dos puntos.
Ecuación general de la catenaria: $y = \frac{1}{\alpha} cosh(\alpha x + a)+h$
(La función coseno hiperbólico: $cosh(x) = \frac{e^x+e^{-x}}{2}$)

ASPECTOS TÉCNICOS: OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA CATENARIA EN FUNCIÓN DE DOS PUNTOS DE LA MISMA Y DE LA LONGITUD DEL ARCO DE CATENARIA QUE ESTOS DETERMINAN:

Los datos conocidos son las coordenadas de los puntos de sujeción $A=(x_1, y_1)$ y $B=(x_2, y_2)$ y la longitud $L$ de la catenaria.
A partir de estos datos calculamos la separación horizontal y vertical de los dos puntos: $d= |x_2 - x_1|$ y $l=|y_2 - y_1|$

La ecuación de la catenaria buscada es: $$y = \frac{1}{\alpha} cosh(\alpha x + a)+h$$, por lo que tenemos que determinar el valor de $\alpha$, $a$ y $h$.
Por ser A y B puntos de la catenaria:
$y_1 = \frac{1}{\alpha} cosh(\alpha x_1+a)+h$
$y_2 = \frac{1}{\alpha} cosh(\alpha x_2+a)+h$
Restando se obtiene:
(1) $\alpha ( y_2-y_1) = cosh(\alpha x_2+a)-cosh(\alpha x_1+a)$

La longitud de la catenaria se calcula a partir de la derivada: $y' = senh(\alpha x + a)$:
$L= \int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+ y'^2}dx$
$L=\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+ senh^2(\alpha x + a)}dx = \int_{x_1}^{x_2} cosh(\alpha x + a) dx=$
$ =\left [ \frac{1}{\alpha} senh(\alpha x + a) \right ]_{x_1}^{x_2} $
Resulta así:
(2) $\alpha L = senh(\alpha x_2 + a) - senh(\alpha x_1 + a)$

Elevando al cuadrado las igualdades (1) y (2) y restando la primera de la segunda, se obtiene:
${\alpha}^2 (L^2- l^2) = -2 -2 senh(\alpha x_2 + a) senh(\alpha x_1 +a) + 2 cosh(\alpha x_2 + a) cosh(\alpha x_1 +a)$
$-2 + 2 \left ( cosh(\alpha x_2 + a) cosh(\alpha x_1 +a) - senh(\alpha x_2 + a) senh(\alpha x_1 +a) \right )$
Ahora (recordemos: $cosh(A-B) = cosh(A) cosh(B) - sinh(A) sinh(B)$):
$-2 + 2 cosh( \alpha (x_2-x_1)) = {\alpha}^2 (L^2- l^2)$
$-2 \left ( 1 - cosh( \alpha (x_2-x_1) \right ) ={\alpha}^2 (L^2- l^2)$
Utilizando: $1- cosh(A) = -2 senh^2(\frac{A}{2})$ resulta:
$4 senh^2 \left ( \frac{\alpha (x_2 - x_1)}{2} \right ) = {\alpha}^2 (L^2 - l^2)$
$2 senh \left ( \frac{\alpha (x_2-x_1)}{2} \right ) = {\alpha} \sqrt{L^2- l^2}$
y, por último:
$$2 senh \left ( \frac{\alpha d}{2} \right ) = {\alpha} \sqrt{L^2- l^2}$$
En la igualdad anterior $L$ es la longitud de la catenaria, $d$ la separación horizontal entre los puntos A y B, y $l$ es la separación vertical entre los puntos A y B.
Utilizando algún método numérico se puede aproximar el valor de $\alpha$ , que tiene que ser positivo. Con Geogebra se ha hecho buscando el valor aproximado de la raíz positiva de la función: $f(x)=2 senh \left ( \frac{x d}{2} \right ) - {x} \sqrt{L^2- l^2}$ (Con el comando Root obtenemos las coordenadas del punto de corte con el eje de abscisas y su primera componente es el valor buscado)

Falta calcular los valores aproximados de $a$ y de $h$ de la ecuación de la catenaria buscada.
Para ello imponemos la condición de que los puntos A y B estén sobre la misma:
$y_1 = \frac{1}{\alpha} cosh(\alpha x_1 + a) + h$
$y_2 = \frac{1}{\alpha} cosh(\alpha x_2 + a) + h$
Restando la primera de la segunda tenemos:
$\alpha (y_2-y_1) = cosh(\alpha x_2 + a) - cosh(\alpha x_1 +a)$
Para calcular el valor aproximado de $a$ con Geogebra, buscamos la raíz de $g(x) = \alpha (y_2 - y_1) - cosh(\alpha x_2 + x) + cosh(\alpha x_1 + x)$ usando el comando Root. El comando nos devuelve las coordenadas del punto de corte con el eje de abscisas y su primera componente es el valor buscado.
Una vez obtenido el valor de $a$, se obtiene el valor de $h$ usando cualquiera de las dos ecuaciones determinadas por las coordenadas de A o de B.

El archivo creado con Geogebra (agosto de 2013 y con la versión 4.2) funciona bien en local y la exportación a Applet de Java no se carga en los navegadores. Para visualizarlo hay que hacer la exportación a html5; desde GeogebraTube es fácil siguiendo la siguiente indicación http://wiki.geogebra.org/en/Tutorial:Creating_HTML5_documents_with_GeoGebraWeb
El archivo interactivo funciona razonablemente bien teniendo en cuenta que se usan algoritmos CAS y que algunos de los valorores que el usuario puede introducir son incosistentes; no me he molestado mucho en depurar el archivo creado (a veces el archivo se bloquea, pero basta recargar la página para que todo vuelva a funcionar). Parece que la exportación a html 5 y la utilización de JavaScript empieza a ser obligatoria, en detrimento de los clásicos applet generados con Java.

1 Comment

Hola:

Hola: Soy un poco aficionado a las matemáticas y también usuario novel de Geogebra. Estoy intentando reproducir con Geogebra una Catenaria determinada por dos puntos de sujeción y una longitud dada, pero no lo logro. No soy capaz de trasladar las formulas de la catenaria a Geogebra para que se vea como en su ejemplo. ¿Me podría ayudar con alguna indicación? Le estaría muy agradecido. Un cordial saludo. Juan

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