Circunferencia de Apolonio

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Proposición 1:
Si A y B son dos puntos fijos, el lugar geométrico de los puntos P que cumplen $\frac{|PA|}{|PB|}=\lambda$ , con $\lambda$ valor constante, es una circunferencia de centro un punto O situado sobre la recta AB y con radio $R$, tal que $R^2=|OA| \times |OB|$.

Proposición 2:
Si tenemos una circunferencia de radio $R$ y centro O y elegimos dos puntos A y B situados sobre un diámetro de la circunferencia y a un mismo lado de O y de forma que se cumpla $|OA| \times |OB|=k^2$, entonces para todos los puntos de la circunferencia se cumple: $\frac{|PA|}{|PB|}= \text{constante}$ .

Estas circunferencias sobre la que se mueve P se llaman circunferencias de Apolonio.

Demostraciones (Dan Pedoe, ver bibliografía):
Proposición 1:
Dada la posición de P, trazamos la perpendicular en P a la circunferencia determinada por A, B y P. La perpendicualar corta a la recta determinada por A y B en O. El ángulo $\angle BPO$ (ángulo semiinscrito) coincide con el ángulo $\angle PAB$ y de la semejanza de los tríangulos $\triangle AOP$ y $\triangle POB$ (ver en la primera aplicación interactiva) se deduce:
$\frac{|AP|}{PB|} = \frac{|OP|}{|OB|} = \frac{|AO|}{|PO|}=\lambda$, y de aquí:
$\frac{|AO| \times |OP|}{|OB| \times |PO|}= {\lambda}^2=\frac{|AO|}{|OB|}$, de lo que se deduce que O es un punto fijo situado sobre la recta determinada por A y B y exterior al segmento AB.
Como $|OP|^2 = |OA| \times |OB|$ resulta que $|OP|$ es constante y P se mueve sobre una circunferencia de centro O y radio $R$ con $R^2 = |OA| \times |OB|$
En el caso particular de $\lambda = 1$ la circunferencia es una circunferencia degenerada que coincide con la mediatriz del segmento AB.

Proposición 2:
Si P está sobre la circunferencia $|OP|^2=|OA|\times |OB|$, tenemos: $\frac{|OP|}{|OB|} = \frac{|OA|}{|OP|}$ los triángulos $\triangle AOP$ y $\triangle POB$ con vértice común en O, son semejantes:
$\frac{|AP|}{PB|} = \frac{|OP|}{|OB|} = \frac{|AO|}{|PO|}=\lambda$
$\frac{|AO| \times |OP|}{|OB| \times |PO|}= {\lambda}^2=\frac{|AO|}{|OB|}$, de donde al ser A, B y O fijos, resulta que $\lambda$ es un número positivo fijo.
Por tanto $\frac{|AP|}{PB|} =\text{constante}$ para todas las posiciones de P sobre la circunferencia.
Si la circunferencia original es una circunferencia degenerada en una recta, elegimos dos puntos A y B simétricos respecto de ella y, en este caso, la recta es la circunferencia de Apolonio determinada por los puntos A, B y el parámetro $\lambda = 1$

La siguiente aplicación interactiva muestra de forma visual lo expuesto en las demostraciones.
Una vez determinada la circunferencia de Apolonio (dependiente de las posiciones de A, B y P), se puede mover el punto Q con el fin de comprobar la invarianza de la razón $\frac{|AQ|}{|BQ|}$. Las posiciones iniciales de A, B y P también se pueden modificar haciendo uso del ratón.

Otro planteamiento:
La siguiente aplicación interactiva muestra la obtencíón de la circunferencia de Apolonio determindada por A, B y P. P es un punto que cumple la relación métrica deseada y considerando el triángulo ABP, se dibujan las bisectrices (interna y externa) en el vértice P. Las intersecciones M y N con la recta determinada por A y B son fijas e independientes de la elección del punto P (siempre que este satisfaga la relación métrica concreta comentada) y la argumentación de la demostración está basada en el teorema de las bisectrices. Esta argumentación corresponde a las demostraciones propuestas por Coxeter y Puig Adam (ver bibliografía).

Bibliografía:
Puig Adam, Geometría Métrica, Tomo I, (pág. 143)
Coxeter, Introduction to Geometry Second Edition, Wiley, (pág 88)
Miguel de Guzmán, Apolonio, http://www.mat.ucm.es/catedramdeguzman/drupal/migueldeguzman/legado/hist... (acceso en agosto de 2013)
Dan Pedoe, Geometry, a comprehensive course, Dover, (pág. 72)

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