Circunferencia de los nueve puntos

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Circunferencia de los nueve puntos o de Feuerbach

Los puntos A', B', C' son los puntos medios de los lados.
D, E, F son los pies de las alturas (proyección del ortocentro sobre los lados).
A'', B'', C'' son los puntos medios de los segmentos determinados por el ortocentro y los tres vértices del triángulo.

No es difícil comprobar que el cuadrilátero C'A'C''A'' es un rectángulo y que por tanto se puede inscribir en una circunferencia de diámetro C'C''.
También C'B''C''B' es un rectángulo y C'C'' es un diámetro de la circunferencia circunscrita al rectángulo.
Por tanto los puntos A', B', C', A'', B'', C'' están situados sobre una misma circunferencia.
Desde el punto D el diámetro A'A'' se ve bajo un ángulo de 90º, motivo por el que D también está sobre la circunferencia.
Con los puntos E y F sucede lo mismo en relación con los diámetros B'B'' y C'C''.
Por tanto los nueve puntos mencionados están sobre la misma circunferencia.
La circunferencia se conoce como circunferencia de los nueve puntos o de Feuerbach y tiene numerosas propiedades interesantes. Algunas de ellas las trataremos en otras entradas de esta página.

BIBLIOGRAFÍA E INFORMACIÓN ADICIONAL:

  1. H.S.M. Coxeter, Introduction to Geometry (John Wiley & Sons, pág 18)
  2. Biografía de Feuerbach: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Feuerbach.html

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