Circunferencia de los nueve puntos: centro y radio

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  1. Radio:
    Al aplicar una homotecia de centro el baricentro del triángulo ABC y de razón $-\frac{1}{2}$ la circunferencia se transforma en otra circunferencia que pasa por los puntos medios de los lados (A', B', C'). Esto es consecuencia inmediata de la propìedad métrica de las medianas y el baricentro (AG=2GA').
    De ello se deduce que la circunferencia homotética obtenida es la circunferencia de los nueve puntos (vease http://www.matematicainteractiva.com/circunferencia-de-los-nueve-puntos para asuntos generales de la circunferencia de los nueve puntos) y, además, que su radio mide la mitad que el radio de la circunferencia circunscrita.
  2. Posición del centro de la circunferecia de los nueve puntos:
    Si además recordamos que el ortocentro H, el baricentro G y el circuncentro O están alineados (recta de Euler) y que se cumple: HG = 2 GO, vemos que el centro de la circunferencia de los nueve puntos, homotético del centro de la circunferencia circunscrita, es exactamente el punto medio del segmento determinado por el ortocentro y el circuncentro:

    Recta de Euler, posición del centro de la circunferencia de los nueve puntos

  3. Rectas tangentes a la circunferencia circunscrita y rectas tangentes a la circunferencia de los nueve puntos en los puntos medios de los lados del triángulo:
    La recta tangente a la circunferencia circunscrita en uno de los vértices del triángulo es paralela a la recta tangente a la circunferencia de los nueve puntos en el punto medio del lado opuesto (la primera recta tangente al transformarse mediante una homotecia se convierte en otra recta paralela) .

BIBLIOGRAFÍA, INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA:

  1. Puig Adam, Curso de Geometría Métrica, (Euler, G. Puig Ediciones, Tomo I, pág. 94 y 125)

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