Coloreando el triángulo de Pascal

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En el triángulo de Pascal aparecen los números triangulares (1, 3, 6, 10,...), tetraédricos (1,4,10,20,35,56,...), los números de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,......), etc.
Se han estudiado multitud de propiedades numéricas del triángulo, criterios de divisibilidad, algoritmos para calcular restos al dividir por un número concreto, etc.
El triángulo debe su nombre al célebre matemático Blaise Pascal (1623-1662) quien estudió algunas propiedades del mismo, siendo más importante el método utilizado para demostrar una de ellas que la propiedad en sí. Pascal utilizó aquí por primera vez de forma clara y precisa el método de "inducción matemática". (Boyer: Historia de las Matemáticas). No obstante hay que recordar que el triángulo de Pascal era conocido desde mucho antes. Las primeras referencias del triángulo corresponden a China, donde está constatado que el triángulo era conocido alrededor de 1100. En relación con el triángulo de Pascal se suelen citar al matemático chino Yang Hui, del siglo XIII, conocido por haber estudiado algunas de sus propiedades, y al matemático persa Omar Khayyam, del siglo XI-XII, cuyo descubrimiento del triángulo se presume que fue independiente del descubrimiento por parte de los matemáticos chinos). Al final de esta página existen enlaces a las biografías que la universidad de St. Andrews (Escocia) pone a disposición de los interesados.

PROPIEDAD INTERESANTE
En esta página vamos a detenernos en una curiosa propiedad del triángulo de Pascal.
Si consideramos una parte inicial del triángulo (por ejemplo las 20 primeras filas) y coloreamos las casillas correspondientes a los números pares, se observa una estructura regular que nos recuerda el famoso triángulo de Sierpinski. Si aumentamos paulatinamente el número de filas conservando el tamaño externo del triángulo de Pascal, el parecido se hace más patente y podemos convencernos de que los sucesivos triángulos de Pascal coloreados y con un número de filas cada vez mayor se aproximan (convergen) al triángulo de Sierpinski.
El primer applet de esta página muestra inicialmente las primeras filas del triángulo de Pascal. Se puede aumentar el número de filas y se puede elegir entre colorear los números pares o no colorearlos. Cuando se elige colorear se observa perfectamente que al ir aumentando el número de filas el objeto resultante se va aproximando al triángulo de Sierpinski.
El segundo applet es algo distinto. Está diseñado para mostrar otro tipo de regularidad que se da en el triángulo de Pascal. Aquí podemos elegir entre tres números: 3, 5 y 7, y se pueden colorear los números en función del resto obtenido al dividirlos entre 3, 5 ó 7. Exite también la posibilidad ("Divisibles") de colorear sólo los números combinatorios que son divisibles entre 3, 5 ó 7. Es decir, si elegimos el número 3 el applet divide los números del triángulo entre 3, y dependiendo de la opción elegida ("Colorear" o "Divisibles") colorea en función del resto obtenido (0, 1 ó 2) o bien colorea solamente los múltiplos de 3.. También se ver la parte del triángulo elegida sin colorear nada ("Colores No").

PASCAL-1

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PASCAL-2

 

INFORMACIÓN INTERESANTE:
En el servidor de la Universidad de St. Andrews (Escocia) se puede encontrar excelente información biográfica:
Yang Hui: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Yang.html
Omar Khayyam: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Khayyam.html
Catalan: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Catalan.html
Pascal: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Pascal.html
Sierpinski: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Sierpinski.html

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