Un problema de tangencia de tres circunferencias (y comando LocusEquation de Geogebra)

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Recientemente alguien planteó en el foro del portal de Geogebra el problema siguiente:
Dadas dos circunferencias, una contenida en la otra, hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes interiores a la primera y tangentes exteriores a la segunda, a la que está contenida en la primera.

El problema admite dos soluciones, una es solución estricta al problema y la segunda es solución si se admite una interpretación algo más general:

  • Solución 1: en la que las circunferencias buscadas son tangentes interiores a la mayor y tangentes exteriores a la menor de las dos, y
  • Solución 2: en la que las circunferencias buscadas son tangentes interiores a la mayor y la segunda circunferencia, la interior, es tangente interior a la buscada.

Las dos primeras aplicaciones interactivas, al final de este texto, muestran las dos soluciones y analizando la situación se ve en cada caso que el lugar geométrico se trata de una elipse de focos los centros de ambas circunferencias y de suma de distancias focales R1 + R2 y R1 - R2, siendo R1 > R2 los radios de las circunferencias dadas.

La tercera aplicación que se ve al final de esta página muestra la solución al problema usando el nuevo comando LocusEquation[] (en la versión inglesa).

Este potente comando es una verdadera novedad del programa (novedad para mí, básicamente porque acabo de descubrirlo hace unas semanas) y se enmarca en el paradigma de la "demostración automática", asunto que en el que se está investigando muchísimo desde hace ya más de una década.
De hecho existe un equipo de investigadores españoles que está trabajando en cuestiones relacionadas con la demostración automática desde hace mucho tiempo. Algunos están directamente involucrados en la programación del comando LocusEquation[] de Geogebra. (Ayuda relacionada con el programa: http://wiki.geogebra.org/en/LocusEquation_Command

La sintaxis del comando es, teóricamente, simple. El primer argumento, en este ejemplo, es una condición booleana que expresa la condición que deben cumplir los puntos buscados, los centros de las circunferencias buscadas; es decir MF == MG (ver en la tercera aplicación, más abajo) y el segundo argumento es el punto que dibuja el lugar geométrico buscado, en este caso el punto M.
El programa devuelve la ecuación implícita de la solución general. La curva está formada por dos ramas, cada una de ellas una de las elipses correspondientes a las situaciones indicadas anteriormente. El cálculo lo hace muy deprisa, y me ha sorprendido muy gratamente descubrir que con esta herramienta se pueden analizar problemas geométricos.

Enlaces interesantes en relación con la obtención de lugares geométricos usando el comando LocusEquation y otros relacionados con lugares geométricos:

Veamos ahora las tres aplicaciones interactivas correspondientes al problema que comentamos:

Primera solución:

Segunda solución:

Tercera solución (con el comando LocusEquation[], obtiene una curva implícita formada por dos elipses:

3 Comments

Carlos,

Carlos, No consigo reproducir los ejemplos con LocusEquation[], ni éste ni los que figuran como ejemplo en la página de GeoGebra. El lugar me queda siempre indefinido. Tengo instalada la versión 5.0.309 de 20/12/2016. ¿Se requiere una versión más reciente o alguna otra circunstancia?

Hola Ignacio:

Hola Ignacio: Está hecho con la 5.0-307.0-3D y el archivo en GeogebraTube o materiales como se llama ahora es: <a href="https://www.geogebra.org/m/zSvEcqYz">https://www.geogebra.org/m/zSvEcqYz</a> Debería verse, quizás sea un problema del navegador. Yo en el móvil no veo los lugares generados con LocusEquation[]. Un saludo

El problema con mi

El problema con mi construcción era que algunos de los puntos los hacía depender de un deslizador, lo que parece que no siempre funciona bien. Por otra parte, en el nombre de los objetos involucrados en la condición booleana parece que no deben aparecer ', como empleaba yo en otra construcción para los radios vectores de una elipse, d y d'. El comando es tremendamente interesante, especialmente en la nueva sintaxis EcuaciónLugar[ <Función lógica>, <Punto libre> ], que crea el lugar formado por los puntos para los que la función lógica devuelve el valor true. Permite trazar lugares geométricos, y obtener sus ecuaciones, en situaciones que anteriormente era imposible o mucho más complicado, dada la versatilidad y la naturalidad de la formulación con la 'Función lógica'. Como por ejemplo, el lugar geométrico cuyo producto de distancias a varios puntos es constante (un Ovalo de Cassini para dos puntos). Con este comando es inmediato, y los resultados gráficamente curiosos. La ecuación es un polinomio cuyo grado duplica el número de puntos.

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