Concha de Nautilus: espiral logarítmica, pero no áurea

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Concha de Nautilus: espiral logarítmica, pero no áurea

INTRODUCCIÓN
La concha de Nautilus (Nautilius Pompilius en la Wikipedia) cortada por su plano aproximado de simetría da lugar a dos mitades que constituyen un ejemplo clásico de espiral aproximadamente logarítmica (también llamada espiral equiangular). Desde hace mucho tiempo deseaba realizar alguna comprobación empírica de este asunto usando algún programa. He utilizado Geogebra.

buceador y nautilus

Nautilus pompiliusesquema sección Nautilus sección nautilius

Existe abundante literatura en la que se sostiene que se trata de una espiral logarítmica áurea y se habla de su relación con rectángulos de Fibonacci. No es cierto que se trate de una espiral áurea y, lamentablemente, el error está muy extendido.
Los fanáticos del número áureo tienen la costumbre de ver el número áureo o la proporción áurea en todas partes (pintura, escultura, arquitectura, naturaleza, ...) y no suelen caracterizarse por analizar las cosas con el rigor deseable.

En este artículo estudiaremos la forma de la espiral a partir de una imagen. También haré referencia a publicaciones serias que abordan este asunto.
Además, al final, veremos que, cuando en el desarrollo de un objeto existe un movimiento giratorio asociado a un crecimiento tridimensional uniforme en tiempos iguales, es razonable que se genere una espiral equiangular o logarímica.

Pero, vayamos ordenadamente y por partes.

ASPECTOS GENERALES: ECUACIONES POLARES DE LA ESPIRAL LOGARÍTMICA (CASO PARTICULAR DE LA ESPIRAL ÁUREA) Y ALGUNAS CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES

Una espiral logarítmica se puede expresar mediante una ecuación polar del tipo: $R(\theta)=a e^{k \theta}$ donde $a$ es una constante positiva arbitraria y $k$ otra constante (de cuyo signo depende la dirección del giro de la espiral).
PROPIEDADES CARACTERÍSTICAS DE LA ESPIRAL EQUIANGULAR Y DE LA ESPIRAL ÁUREA:

  • El ángulo que forma el radio correspondiente a un punto de la espiral con la recta tangente en el punto tiene un valor constante, independiente de la posición del punto. No es difícil comprobar que $k=ctg (\alpha)$, donde $\alpha$ es el ángulo mencionado (http://matematicainteractiva.com/curvas-polares-angulo-recta-tangente-y-...).
  • Tampoco es difícil comprobar que la razón de las logitudes de los radios correspondientes a los puntos de argumentos y $\theta +\frac{\pi}{2}$ y $\theta$, es decir: $\frac{R(\theta +\frac{\pi}{2})}{R(\theta)}$ es constante e igual a $e^{k \frac{pi}{2}}$ (Se trata de la razón de los radios de dos puntos, el segundo de los cuales se obtiene girando el primero 90 grados sobre la espiral, con centro en el polo y en el sentido de crecimiento de la espiral).
    Este resultado se deduce sin problemas a partir de la expresión analítica de la espiral.

La espiral áurea es un caso particular de la espiral logarítmica y admite la ecuación polar $R(\theta)=\Phi ^{\theta \frac{2}{\pi}}$ (expresada como potencia del número e se obtiene de forma equivalente: $R(\theta) = e^{\theta \frac{2 log(\Phi)}{\pi}}$). El número $\Phi$ es el número áureo y su valor numérico se puede calcuar del siguiente modo: $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
En el caso de la espiral áurea el valor constante del ángulo formado por los radios y las rectas tangentes es aproximadamente igual a $72.97^o$ y la razón $\frac{R(\theta +\frac{\pi}{2})}{R(\theta)}$ es igual a $\Phi$ (un cuarto de giro completo implica una dilatación de factor $\Phi$).

ESTUDIO DE LA ESPIRAL DE LA CONCHA DEL NAUTILUS CON GEOGEBRA

Para realizar los experimentos he partido de una fotografía. Tanto si se parte de una fotografía como si se hace a partir de una concha real hay ciertos márgenes de error que no se pueden soslayar. Entre otros: localización del centro, grosor de las paredes, sección de corte no necesariamente perpendicular y perfecta, errores de medición (con los errores de medición no suelen ser muy estrictos los fanáticos del número áureo).

1. Ecuación y gráfica de la espiral obtenida a partir de una primera estimación (primera ubicación de los puntos F y G)
En la imagen que se muestra a continuación se ha estimado la ecuación de la espiral logarítmica de centro O y los puntos F y G situados sobre el borde de la concha y el segundo separado del primero por un giro de 180 grados sobre la espiral. A partir de los tres puntos se obtiene la ecuación de la única espiral logarítmica que determinan.
Esto permite observar que la espiral obtenida se aproxima muy bien en las zonas no demasiado lejanas en ángulo polar de los puntos F y G.
La imagen se ha obtenido a partir de una archivo diseñado con Geogebra y disponible aquí (en GeogebraTube).

Espiral logarítmica dibujada sobre una concha de Nautilus

2. Ecuación y gráfica de la espiral obtenida a partir de una nueva estimación (segunda ubicación de los puntos F y G)
Hemos repetido la operación anterior eligiendo otra ubicación más externa para los puntos F y G, es decir correspondientes a una fase más tardía en el crecimiento del molusco, y se ha obtenido la siguiente imagen. Igual que antes, la espiral teórica obtenida se aproxima muy bien a la espiral real en zonas no demasiado alejadas a F y G.

Espiral logarítmica dibujada sobre una concha de Nautilus

Para caracterizar la espiral logarítmica con el fin de compararla con la espiral áurea se suele usar una de las dos opciones siguientes:

  • Estimar el ángulo que forma la recta tangente con el correspondiente radio (en el caso de la espiral áurea el valor esperado es aproximadamente igual a $72.97^o$ )
  • Estimar la razón entre las longitudes de los radios correspondientes a puntos de argumentos cuya diferencia es un ángulo recto ($\frac{R(\theta + \frac{\Pi}{2})}{R(\Phi)}$). (En el caso de la espiral áurea esa razón es igual a $\Phi \approx 1.618$

Espiral logarítmica dibujada sobre una concha de Nautilus

3. CONCLUSIÓN:
Nuestra conclusión es que la espiral del molusco estudiado no es una espiral áurea. Se trata de una espiral logarítmica en la que el ángulo característico es aproximadamente igual a $81^{\circ}$ y la razón $\frac{R(\theta + \frac{\Pi}{2})}{R(\Phi)} \approx 1.31$, valores ambos muy alejados de los valores esperados en una espiral áurea.

4. CRECIMIENTO NATURAL (GIRO Y DILATACIÓN) Y ESPIRAL LOGARÍTMICA:

La siguiente aplicación interactiva diseñada con Geogebra permite ver cómo se obtiene una espiral logarítmica a partir de un crecimiento natural de una estructura triangular inicial.
En la fase de crecimiento cada triángulo genera un nuevo triángulo semejante a él y perfectamente adosado a él.
Se obtiene una estructura correspondiente a una espiral logarítmica. Los vértices del triángulo están situados sobre la espiral.
El caso del crecimiento del Nautilus es similar. El molusco vive siempre en la última de las cámaras, las demás cámaras están vacías y sirven para insuflar aire o agua según las necesidades (ascender o descender en el medio marino). El crecimiento es tridimensional, pero las características son similares a las del ejemplo de la espiral generada a partir del triángulo que mostramos a continuación: giros iguales en tiempos iguales y nueva estructuras resultado del crecimiento durante esos tiempos iguales semejantes a la estructura anterior.

La comprobación de la propiedad mencionada es sencilla.
Los radios de los vértices sucesivos para $n = 1, 2, \dots$ y para $n = -1, -2, \dots$ cumplen: $R= (OB)\times \left( \frac{OA}{OB} \right )^n$ y los árgumentos de los vértices: $\Theta= n \alpha$ donde $\alpha$ es el argumento del vértice A.
Eliminando $n$ en las dos ecuaciones anteriores, se obtiene: $R(\Theta) = OB \times \left( \frac{OA}{OB} \right )^{\frac{\Theta}{\alpha}}$ o, equivalentemente:
$R(\Theta) = OB \times e^{\frac{\Theta (log(OA)- log(OB) ) }{\alpha}}$

5. FUTURAS INVESTIGACIONES:
Estas comprobaciones constituyen solo un punto de partida para un posible estudio más amplio.

  • Un asunto interesante consiste en abordar la obtención de la ecuación de la espiral usando interpolación a partir de varios puntos, es decir, no obteniendo la ecuación exacta a partir de dos puntos de la espiral sino la mejor aproximación posible a partir de varios puntos.
  • Estudiar distintas conchas para comparar sus características (valores medios y variablilidad) en una misma especie (La concha de Nautilus estudiada aquí se comporta de forma similar a lo recogido en diversos estudios).
  • Estudiar distintas especies animales para ver cómo el valor aproximado de los parámetros de las espirales es una característica de la especie animal a la que pertenece la concha.

6. BIBLIOGRAFÍA:

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