Cuaterna armónica

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Dados dos puntos A y B, se dice que los puntos M y N situados sobre la recta determinada por A y B separan armónicamente a los puntos A y B si las razones de las distancias a A y B desde M y N son iguales y de signo opuesto (uno de los puntos M y N es interior al segmento AB y el otro exterior).
Esto es equivalente a:
$\frac{MA}{MB}=- \frac{NA}{NB}$

De la igualdad anterior se deduce: $\frac{AM}{AN}=-\frac{BM}{BN}$, por lo que también A y B separan armónicamente a los puntos M y N.

En la situación descrita se dice que ABMN están en cuaterna armónica.

Construcción del cuarto armónico:
Dados los puntos A, B, M, interesa obtener el correspondiente punto N para el que ABMN están en cuaterna armónica.
La primera aplicación interactiva ilustra el proceso para el caso en el que M es interior al segmento AB. Si el punto conocido es N exterior al segmento AB el poceso se realiza de la misma forma, realizando la construcción a partir de N.

La segunda aplicación interactiva justifica lo siguiente: si ABMN forman una cuaterna armónica, entonces A y B son puntos inversos respecto de la circunferencia de diámetro MN.

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