Deltoide envolvente de las líneas Wallace-Simson de un triángulo

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Es bastante conocido el hecho de que la envolvente de la familia de rectas de Wallace-Simson de un tríangulo es una deltoide.
Visualizar la situación usando algún programa tipo Cabri, Cinderella o Geogebra es sencillo. Estos programas cuentan con una opción que permite colorear el rastro que va dejando una recta al moverse, con lo cual basta colocar un punto P sobre la circunferencia circunscrita, dibujar su correspondiente recta de Wallace-Simson, activar su traza, a continuación mover P y observar la envolvente que determina la familia de rectas. Algunos de estos programas también permiten obtener la envolvente como lugar geométrico a partir de las rectas.

En esta ocasión me interesaba no tanto hacer el diseño de la situación, sino entender cómo se había demostrado matemáticamente este resultado con el fin de obtener la curva deltoide a partir de su ecuación o bien de forma mecánica a partir de la huella marcada por un punto situado sobre una circunferencia que se desplaza girando sin deslizamiento sobre la parte interior de otra circunferencia. Para ello es necesario conocer las características concretas de la deltoide obtenida a partir de un triángulo concreto ABC.

Como punto de partida para aproximarse al problema se cita obligatoriamente el artículo de Van Horn (1938). Es un clásico y denso "paper" de solo cuatro folios que estudia el asunto muy a fondo.

Una aproximación bella, moderna y altamente ingeniosa la encontramos en Miguel de Guzmán (1998 y 2001) y todo lo que a continuación exponemos está basado en sus trabajos.

Miguel de Guzmán buscaba una solución al estilo sintético, que a su vez fuera intuitiva y relativamente sencilla. Su aproximación al problema es una verdadera maravilla puesto que encuentra la forma de simplificar enormemente el problema (podemos recordar la famosa frase de Johann Bernouilli en relación con Newton: por sus garras se conoce al león).

Partiendo de la base de que problema se puede resolver sin demasiada complicación para el caso de un triángulo equilátero, inventó una transformación que, a partir de un triángulo cualquiera permitía obtener otro triángulo inscrito en la misma circunferencia de forma que sus rectas de Wallace-Simson fueran paralelas a las del triángulo inicial. De esta forma las deltoides-envolventes correspondientes se obtienen por una sencilla traslación. Aplicando la transformación mencionada dos veces y usando los parámetros adecuados en cada transformación se pasa del triángulo original ABC a otro A'B'C' y este, a su vez, a un tercer triángulo A''B''C'', este último equilátero. Obteniendo la envolvente y sus características para este triángulo equilátero, las propiedades generales de la envolvente del primer triángulo se obtienen sin complicaciones.

No vamos a comentar aquí el proceso completo de su argumentación. Se puede encontrar en la bibliografía citada y merece la pena leerla con mucho detenimiento y sin prisas.
Aquí vamos a describir el proceso seguido en la demostración para determinar las características de la envolvente en el caso concreto de un triángulo equilátero (es decir, solo una parte de la argumentación de Miguel de Guzmán) y presentamos una aplicación interactiva que permite visualizar el asunto (es lo que menos mérito tiene; el mérito está en el original planteamiento de la demostración).

El resultado demostrado por Miguel de Guzmán es el siguiente:
La envolvente de las rectas de Wallace-Simson de un triángulo equilátero ABC es una hipocicloide tricúspide cuyos vértices son los vértices de un triángulo equilátero concéntrico con ABC, cuyos lados son paralelos a los de ABC y cuyo tamaño es 3/2 veces el de ABC.

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Situación de partida:
ABC es el triángulo equilátero y O es su centro. El radio de la circunferencia circunscrita lo designamos por $2 m$ (por ello HO mide $m$) y las relaciones angulares que se pueden observar en el gráfico son sencillas de deducir.
La circunferncia U es la circunscrita al triángulo, la circunferencia W tiene el centro en P y radio $m$, y la circunferencia V tiene centro en O y radio $3 m$
La recta QJ corta a la circunferencia W en los puntos L y T.

Argumentación:

  1. En la circunferencia W el ángulo inscrito $\angle SLT$ mide $\frac{3 t}{2}$ por lo que el ángulo central correspondiente $\angle SPT = 3 t$
  2. De la relación angular anterior, teniendo en cuenta que:
    • el arco recorrido por S sobre la circunferencia V desde el momento que se encontraba sobre la horizontal OA es exactamente $t$ y que el radio de la circunferencia es $3 m$
    • el arco ST sobre la circunferecia W de radio $m$ es $3 t$

    se deduce que T es un punto de la hipocicloide generada por W al rodar interiormente sobre V y comenzando el movimiento cuando P está sobre la horizontal OA.

  3. El ángulo $\angle STL$ mide 90º puesto que está sobre la circunferencia W y abarca un diámetro (LS).
  4. Como el radio de giro instantáneo de la hipocicloide es ST y el ángulo $\angle STL = \frac{\pi}{2}$ resulta que la recta QT es tangente a la hipocicloide mencionada.
  5. Solo queda un detalle: demostrar que la recta anterior, QT, es la recta de Wallace-Simson correspondiente al punto P. Para ello hay que ver que el punto obtenido al proyectar P sobre AB está sobre esa recta. Al punto proyección de P lo designaremos por R y utilizaremos otro gráfico en el que, momentáneamente, nos olvidamos de T. Veámoslo:

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    • Consideremos el punto R, proyección de P sobre el lado AB del triángulo equilátero (por tanto la recta QR es la recta de Wallace-Simson del punto P). Veamos los detalles:
    • El ángulo cuadrilátero BQRP es cíclico por ser $\angle BQP = \angle BRP = \frac{\pi}{2}$ (circunferencia roja).
    • El ángulo $\angle PBR = \frac{1}{2}\angle POA =\frac{t}{2}$ (por estar $\angle PBR$ inscrito en la circunferencia circunscrita al triángulo y por ser $\angle POA$ su ángulo central correspondiente).
    • Observando la circunferencia circunscrita al cuadrilátero BQRP (circunferencia roja) comprobamos que: $\angle PQR = \angle PBR = \frac{t}{2}$
  6. La conclusión es que la recta de Wallace-Simson tiene la misma inclinación ($\frac{t}{2}$) respecto de la recta horizontal QP que la recta QT vista anteriormente (que es tangente a la hipocicloide en T). Por ello la recta de Wallace-Simson QR coincide con la recta QT, y tal y como pretedíamos demostrar, la envolvente de las rectas de W-S es la hipocicloide descrita anteriormente.

BIBLIOGRAFÍA Y ENLACES DE INTERÉS:

  1. Van Horn, C. E. (1938). The Simson quartic of a triangle, Amer. Math. Monthly 45, 434-438.
  2. Butchart, J. H. (1939). The deltoid regarded as the envelope of Simson lines, The American Mathematical Monthly 46, 85-86.
  3. de Guzmán, Miguel (1998) The envelope of the Wallace-Simson lines of a triangle: http://www.mat.ucm.es/catedramdeguzman/old/08sabormat/geometriatriangulo/DiscoveryExperienceswithDERIVE/Deltoide/DeltoenPagWeb/00delten.htm (Consulta: 10/02/2013)
  4. de Guzmán, Miguel (2001) http://dmle.cindoc.csic.es/revistas/detalle.php?numero=4103 (Consulta: 10/02/2013)

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