Demostración sin palabras: área del círculo y longitud de la circunferencia

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Una prueba visual: Relación entre Área del círculo y longitud de la circunferencia (ver al final de esta página información relacionada con los créditos y origen de este planteamiento)

Este archivo permite comprobar la igualdad de las áreas de un círculo y del triángulo que se obtiene al desenrollar la circunferencia (estirando con tensión desde un punto de la misma; por ello el punto sigue la trayectoria de la involuta de la circunferencia).

Se puede comprobar que el área del círculo principal coincide con el área del triángulo obtenido al finalizar el momivimiento y cuya base es L (longitud de la circunferencia) y cuya altura es R (radio del círculo).

Esto permite relacionar el área del círculo con la longitud de la circunferencia:

$A=\frac{1}{2} \times L \times R$

Puede usar el deslizador "a" para visualizar la transformación.
Si desea ver el archivo en forma de animación, use el deslizador "velocidad".

Créditos y origen de este planteamientoto:
Descubrí esta "demostración" en http://gaussianos.com/demostracion-sin-palabras-de-la-formula-para-calcu..., y me he convencido de que la transformación propuesta por el autor (Russel Jay Hendel) mantiene constantes las áreas de las regiones que se van obteniendo al deformar las coronas.

La demostración de la invarianza de las áreas durante la transformación es fácil de realizar si se usan los conocimientos actuales (áreas y longitudes de círculos y circunferencias); pero como esta demostración no presupone que conozcamos esos resultados, si queremos ser rigurosos hay que usar argumentaciones arquimedianas con uso del principio de exhaución).

BIBLIOGRAFÍA:
Russel Jay Hendel, Mathematics Magazine, 1990

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