Eje radical de dos circunferencias

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Obtención algebraica del eje radical de dos circunferencias (no concéntricas):

El eje radical es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto de dos circunferencias fijas.

Expresión analítica de la potencia de un punto ($P = (x_1, y_1)$) respecto de una circunferencia de centro $(a, b)$ y radio $R$:
La ecuación de la circunferencia es la siguiente: $(x-a)^2+(y-b)^2-R^2=0$, y la potencia del punto P se puede calcular como $D^2 - R^2$, es decir, $potencia(P, c) = (x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 - R^2$.

Se observa que para calcular la potencia del punto P respecto de la circunferencia simplemente hay que sustituir las coordenadas de P en la expresión del primer miembro de la ecuación de la circunferencia.

Las dos siguientes expresiones muestran el valor de la potencia de P respecto de cada una de las dos circunferencias:

$x^2 + y^2- 2a_1 x - 2b_1 y +a_1^2 + b_1^2-R_1^2=0$
$x^2 +y^2 - 2a_2 x - 2b_2 y +a_2^2 + b_2^2-R_2^2=0 $

Restando la segunda expresión de la primera se obtiene la ecuación del lugar buscado:

$-2(a_1 - a_2) x - 2(b_1 - b_2) y + (a_1^2 + b_1^2 -R_1^2 - a_2^2 - b_2^2+R_2^2)=0$

Se observa que el lugar geométrico obtenido es una recta (formada por los puntos cumplen la propiedad deseada) .

La recta en cuestión se conoce como eje radical de las dos circunferencias.

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