circunferencia

Demostración sin palabras: área del círculo y longitud de la circunferencia

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desenroscando la circunferencia

Una prueba visual: Relación entre Área del círculo y longitud de la circunferencia (ver al final de esta página información relacionada con los créditos y origen de este planteamiento)

Este archivo permite comprobar la igualdad de las áreas de un círculo y del triángulo que se obtiene al desenrollar la circunferencia (estirando con tensión desde un punto de la misma; por ello el punto sigue la trayectoria de la involuta de la circunferencia).

Circunferencia de los nueve puntos: centro y radio

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circunferencia de los nueve puntos: centro y radio
  1. Radio:
    Al aplicar una homotecia de centro el baricentro del triángulo ABC y de razón $-\frac{1}{2}$ la circunferencia se transforma en otra circunferencia que pasa por los puntos medios de los lados (A', B', C'). Esto es consecuencia inmediata de la propìedad métrica de las medianas y el baricentro (AG=2GA').

Circunferencia de los nueve puntos

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circunferencia de los nueve puntos

Circunferencia de los nueve puntos o de Feuerbach

Los puntos A', B', C' son los puntos medios de los lados.
D, E, F son los pies de las alturas (proyección del ortocentro sobre los lados).
A'', B'', C'' son los puntos medios de los segmentos determinados por el ortocentro y los tres vértices del triángulo.

Potencia de un punto respecto de una circunferencia

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imagen potencia de un punto respecto de circunferencia

Se consideran una circunferencia y un punto P. Trazamos una recta cualquiera que pase por P y corte a la circunferencia en los puntos A y A'.
El producto de las distancias PA y PA' es constante y solo depende de la circunferencia y de la posición del punto P, no de la recta elegida para obtener los puntos de intersección. Dicho valor se conoce como potencia de P respecto de la circunferencia.
Es consecuencia de la semejanza de triángulos que muestra la aplicación interactiva.

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