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Elipse e Hipérbola a partir de la circunferncia focal (comando LocusEquation)

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Un método clásio para obtener una elipse o una hipérbola consiste en generarla como lugar geométrico a partir de sus focos y de su circunferencia focal (radio = 2a).
El lugar geométrico descrito por los centros de las circunferencias que son tangentes a la circunferencia focal de uno de los dos focos y que pasan por el otro foco es una elipse o una hipérbola, dependiendo de que el segundo foco sea interior o exterior a la circunferencia focal (véase [1]).
El siguiente applet permite ver la situación descrita.

Un problema de tangencia de tres circunferencias (y comando LocusEquation de Geogebra)

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Recientemente alguien planteó en el foro del portal de Geogebra el problema siguiente:
Dadas dos circunferencias, una contenida en la otra, hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes interiores a la primera y tangentes exteriores a la segunda, a la que está contenida en la primera.

El problema admite dos soluciones, una es solución estricta al problema y la segunda es solución si se admite una interpretación algo más general:

Elipse: método del jardinero

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Este archivo muestra el clásico método del jardinero para dibujar una elipse. Los textos explicativos están en inglés porque originalmente estaba destinado a ser publicado en el foro de Geogebra (http://www.geogebra.org/forum).
El archivo no es especialmente novedoso puesto que el método del jardinero es sobradamente conocido, pero el archivo incluye algunos scripts que pueden ser ilustrativos para entender las posibilidades que ofrecen estos scripts.

Experimentando con elipses rodantes

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elipses tangentes rodando una sobre la otra

Experimentos con elipses rodantes y generación de curvas epitrocoides elípticas.

En este archivo hemos usado Geogebra para experimentar con mecanismos elípticos rodantes. Podemos generar curvas epitrocoides tipo cardioide y nefroide (ver información en la Wikipedia inglesa), pero no a partir de circunferencias rodantes, sino de elipses rodantes.
El tamaño de las elipses se puede modificar, así como la velocidad de la animación.

Fractal Generado en Billar Agujereado

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Fractal generado con movimiento de segmento y con coloreación condicional de sus puntos



Otros artículos relacionados con billares

Generación de un fractal a partir de un billar elíptico agujereado

En un billar elíptico cada trayectoria elemental (determinada por dos puntos de impacto: punto emisor y siguiente impacto) queda caracterizada por el punto emisor situado sobre la elipse y por el ángulo de inclinación de su trayectoria respecto del diámetro mayor de la elipse.
Los estados de fase inicial quedan determinados por dos parámetros:

  • el primero, sobre el eje horizontal, viene dado por el parámetro t correspondiente a la posición del punto situado sobre el borde ((a cos(t), b sin(t)), siendo a y b las longitudes de los semiejes de la elipse,
  • el segundo es un valor angular (expresado en radianes) que indica la inclinación de la trayectoria respecto del diámetro y se representa sobre el eje vertical

Se estudian órbitas (trayectorias determinadas por reflexiones sucesivas) y se anota el número de la iteración en la que la bola cae en el agujero central de la elipse (si es que cae) .
El número de iteración se usa para colorear el punto del estado de fases correspondiente a la trayectoria inicial. Si la órbita del punto del espacio de fases no resulta atraida por el agujero se le asigna el color negro.
El radio del agujero central se puede modificar y para valores muy pequeños se obtiene "polvo fractal".

Las ideas básicas se han obtenido del artículo no demasiado reciente: http://www.uiowa.edu/~vigre/reu/pdfs/billiards.pdf y el archivo se ha diseñado deprisa y sin depurarlo demasiado.
La intención es la de mostrar que, con la técnica de puntos móviles con traza y usando la hoja de cálculo, se pueden generar imágenes fractales con Geogebra.

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