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Rectificación de la espiral equiangular o logarítmica

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rectificación de la espiral logarítmica

La aplicación muestra que en el caso de una espiral logarítmica ($R(\theta) = e^{k \theta}$) la longitud de la curva correspondiente al intervalo $[-\infty, a]$ es finita.
En la aplicación hemos usado el valor fijo $a = 2 \pi$ que corresponde al punto P de la curva.
Hemos utilizado la clásica propiedad de las espirales equiangulares o logarítmicas consistente en que en este tipo de espirales la constante k coincide con la cotangente del ángulo que forma la recta tangente con el radio (http://www.matematicainteractiva.com/curvas-polares-angulo-recta-tangente-y-longitud-del-arco).
Se comprueba mediante cálculos sencillos que esa longitud, la longitud de esa parte de la espiral, coincide con la longitud AP interceptada sobre la recta tangente por el eje horizontal y por la recta perpendicular que pasa por el polo.
El razonamiento se ha hecho para el caso $k>0$ que corresponde a espirales que se enrollan hacia la izquierda al aumentar el ángulo. Para el caso de valores negativos de la constante k, el razonamiento es similar (espirales logarítmicas que se enrollan hacia la derecha).

Máximo Común Divisor (GCD)

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captura de pantalla de la aplicación que muestra visualmente el algoritmo de Euclides

Mostramos una aplicación que permite ver de forma gráfica el proceso del algoritmo de Euclides al realizar las divisiones pertinentes con el fin de determinar el máximo común divisor de dos enteros positivos (mcd en castellano y gcd en inglés).
El archivo me ha llevado trabajo, porque la parte algorítmica está implementada en JavaScript (JavaScript embebido directamente en el archivo de Geogebra) y soy novato en estas lides.

Baricentro

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triángulo con medianas y baricentro

Las medianas de un triángulo son los segmentos determinados por los vértices y los puntos medios de los lados opuestos del triángulo.
Es conocido que las tres medianas se cortan en un punto llamado baricentro y que el baricentro, también llamado centroide, es el centro de masa del triángulo y son conocidos los experimentos prácticos de Arquímedes (http://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedes) con la finalidad de localizar el centro de gravedad usando planchas metálicas finas y uniformes con forma de triángulo.

Movimiento rectilíneo a movimiento circular

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conversión de un movimiento rectilíneo en circular

La aplicación que puede verse en esta página muestra cómo generar un movimiento circular a partir de un movimiento rectilíneo.
El asunto no es complicado (no requiere del uso de inversiones) y no tiene nada que ver con la dificultad que supone generar un movimiento rectilíneo a partir de uno circular (inversores de Peaucellier y de Hart)

Teorema de Ceva

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triángulo, cevianas y propiedad métrica que garantiza la concurrencia de las tres cevianas

Este famoso teorema se debe a Giovanni Ceva que lo publicó en 1678.
Se denomina cevianas a los segmentos que unen un vértice de un triángulo con un punto cualquiera del lado opuesto.
Veamos el teorema de Ceva y su recíproco.

TEOREMA DE CEVA:
En un triángulo ABC, si las cevianas AX, BY y CZ son concurrentes se verifica: $\frac{BX}{XC} \times \frac{CY}{YA} \times \frac{AZ}{ZB} = 1$
Demostración: más abajo

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