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Cicloide: propiedad braquistócrona

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visualización de la propiedad braquistócrona: bolas bajando por cicloide y por plano inclinado

La aplicación interactiva permite comprobar la propiedad braquistócrona de la cicloide.

La propiedad consiste en que la trayectoria más rápida para que una partícula en un campo gravitatorio se deslice de un punto a otro (el punto inicial es el punto azul de la aplicación interactiva y punto el destino es el punto verde).
De todas las posibles trayectorias que puede seguir una partícula, la más rápida es la trayectoria determinda por un arco de cicloide.

Inversor de Hart

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imagen del mecanismo inversor de Hart en acción

Inversor de Hart:
Se trata de un dispositivo que permite obtener la posición inversa de un punto respecto de cierta circunferencia. Es decir si el punto P ocupa una posición concreta, el otro, Q, es su inverso respecto de una circunferencia concreta y fija de centro O.
Es sabido que si un punto se mueve sobre una circunferencia no concéntrica con la circunferencia que define la inversión, su punto inverso se mueve sobre una recta. Ello permite transformar un movimiento circular en rectilíneo.

El dispositivo se caracteriza por:

Péndulo de Huygens, propiedad tautócrona de la cicloide

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vista de un péndulo de Huygens con tres lentejuelas oscilando con amplitudes distintas

La aplicación interactiva que se puede ver en esta página muestra un péndulo de Huygens. Este péndulo tiene la propiedad de que el periodo es constante e independiente de la amplitud del movimiento. Esto es una consecuencia directa de la propiedad tautócrona de la cicloide.
El movimiento de la cuerda de cada péndulo está constreñido por dos semicicloides y la trayectoria de las lentejuelas de cada péndulo describen otra cicloide tal y como muestra la aplicación interactiva.

La cicloide: propiedad tautócrona

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partículas descendiendo sobre cicloide para comprobar propiedad tautócrona

Entre otras muchas propiedades la cicloide satisface la propiedad tautócrona.
Esto significa que cualquier partícula situada sobre una cicloide dispuesta tal y como muestra la aplicación interactiva invierte el mismo tiempo en llegar por la acción del campo gravitatorio a la posición inferior de la cicloide.
Es decir, el tiempo invertido por una partícula en el descenso, es independiente de la posición inicial.

Demostración sin palabras: área del círculo y longitud de la circunferencia

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desenroscando la circunferencia

Una prueba visual: Relación entre Área del círculo y longitud de la circunferencia (ver al final de esta página información relacionada con los créditos y origen de este planteamiento)

Este archivo permite comprobar la igualdad de las áreas de un círculo y del triángulo que se obtiene al desenrollar la circunferencia (estirando con tensión desde un punto de la misma; por ello el punto sigue la trayectoria de la involuta de la circunferencia).

Demostración sin palabras: suma de los ángulos de un triángulo

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demostración visual, suma de los ángulos de un triángulo

La aplicación interactiva permite comprobar que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º.

La demostración en cuestión es muy famosa y la he recordado al ver el vídeo que ha realizado el profesor Ángel de la Calle: http://www.youtube.com/watch?v=qdISZa7Y0v8
Ese vídeo es el que me ha impulsado a diseñar una aplicación con Geogebra para mostrar la misma situación.

Mecanismo articulado para generar gráfica

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mecanismo articulado

Esta aplicación no es más que un experimento relacionado con el diseño de mecanismos articulados, lo cual no quiere decir que la situación mostrada no tenga interés pedagógico.
Puede servir de partida para proponer ejercicios consistentes en hallar ecuaciones paramétricas de las curvas descritas usando como origen el punto fijo del mecanismo y usando las medidas de los brazos articulados.

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Teorema de Morley

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triángulo de Morley

Se trata de un célebre teorema geométrico descubierto por F. Morley aproximadamente en 1899.
Existen numerosas demostraciones y aquí vamos a mostrar la que expone Coxeter (Coxeter, 1961) y añadimos una aplicación interactiva para mostrar la situación y permitir la experimentación correspondiente.
El teorema:
Los tres puntos de intersección las rectas adyacentes que trisecan los tres ángulos de un triángulo ABC determiinan un triángulo equilátero.

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