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Estudio de reflexiones en las espirales logarítmicas- archivo 1

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gráfica de una espiral logarítmica

Este archivo muestra una primera aproximación al problema de las reflexiones en la espiral equiangular.

Desde un punto A se emite un rayo en dirección a B y se trata de encontrar el punto de impacto en la curva. En una siguiente fase estudiaremos otros archivos para obtener las siguientes reflexiones del rayo emitido y finalmente crearemos otro archivo para mostrar las curvas cáusticas reales (usando las reflexiones en el primer punto de impacto; las curvas cáusticas son las envolventes de la familia de rayos reflejados).

Al final de este artículo explicamos la forma en la que se ha diseñado este archivo con el programa Geogebra.

Trocoides

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Gráfica de una trocoide

Este archivo, diseñado con Geogebra, permite experimentar con trocoides (cicloides, cicloides alargadas y acortadas).
Se trata de curvas generadas por un punto situado sobre un radio de una circunferencia que se mueve girando sin deslizamiento sobre una línea recta.
En el caso de este archivo se puede modificar la posición del punto que genera la curva (P) y observar la curva generada.
También es posible visualizar las curvas tangente y normal a la curva generada y observar el aspecto de la evoluta correspondiente (envolvente de la familia de rectas normales)

Máquina de Galton virtual

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máquina de Galton

Una bola colocada en la posición P cae, sobre un conjunto de posiciones fijas (azules), dispuestas en forma triangular, y al impactar sobre cada posición continúa, de forma aleatoria, su camino descendente por la derecha o por la izquierda. De esta forma vuelve a impactar en otra posición y el proceso se repite hasta llegar a la fila inferior.
En ese momento se registra la posición a la que ha llegado.
Las probabilidades de impactar en las distintas posiciones finales son P(k), con k = 0, 1, 2, ..., N-1, y la distribución de probabilidad correspondiente es una distribución binomial B(N, p).
Esa distribución binomial se puede aproximar por una distribución normal de media coincidente con la de la dsitricución binomial y con desviación típcia igual a la raíz de Np(1-p), donde N es el número de resultados posibles y p = 0.5.

Un billar limitado por dos elipses

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billar en zona limitada por dos elipses



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El punto rojo, P, emite un rayo o una bola, dependiendo de cómo desee visualizarse la situación. El punto Q, de color verde, establece la dirección del primer rayo. Ese rayo va reflejándose en los bordes de la zona comprendida entre ambas elipses. La posición y forma de las elipses se puede modificar.

El archivo ha sido diseñado pensando en que P esté situado en la región determinada entre ambas elipses (Elipse Grande - Elipse Pequeña) y es esa zona en la que debería permanecer si se modifica su posición con el ratón. Podría haberse impuesto esta restricción programándola directamente en Geogebra, pero eso hace que la carga y evolución del archivo sean más lentas, motivo por el que esto no ha sido implementado directamente.

Si introduce P en la región interior de la elipse pequeña, podrá observar la evolución de las reflexiones en la zona determinada por el borde de la elipse pequeña. Si el borde de la región grande cruza la región pequeña, el área de reflexión queda reducido a la zona común.

Fractal Generado en Billar Agujereado

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Fractal generado con movimiento de segmento y con coloreación condicional de sus puntos



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Generación de un fractal a partir de un billar elíptico agujereado

En un billar elíptico cada trayectoria elemental (determinada por dos puntos de impacto: punto emisor y siguiente impacto) queda caracterizada por el punto emisor situado sobre la elipse y por el ángulo de inclinación de su trayectoria respecto del diámetro mayor de la elipse.
Los estados de fase inicial quedan determinados por dos parámetros:

  • el primero, sobre el eje horizontal, viene dado por el parámetro t correspondiente a la posición del punto situado sobre el borde ((a cos(t), b sin(t)), siendo a y b las longitudes de los semiejes de la elipse,
  • el segundo es un valor angular (expresado en radianes) que indica la inclinación de la trayectoria respecto del diámetro y se representa sobre el eje vertical

Se estudian órbitas (trayectorias determinadas por reflexiones sucesivas) y se anota el número de la iteración en la que la bola cae en el agujero central de la elipse (si es que cae) .
El número de iteración se usa para colorear el punto del estado de fases correspondiente a la trayectoria inicial. Si la órbita del punto del espacio de fases no resulta atraida por el agujero se le asigna el color negro.
El radio del agujero central se puede modificar y para valores muy pequeños se obtiene "polvo fractal".

Las ideas básicas se han obtenido del artículo no demasiado reciente: http://www.uiowa.edu/~vigre/reu/pdfs/billiards.pdf y el archivo se ha diseñado deprisa y sin depurarlo demasiado.
La intención es la de mostrar que, con la técnica de puntos móviles con traza y usando la hoja de cálculo, se pueden generar imágenes fractales con Geogebra.

Billar con forma de astroide

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billar con forma de astroide



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Billar con forma de astroide

El archivo muestra un billar con forma de astroide.
En su diseño se han utilizado dos herramientas personalizadas, una para calcular el siguiente impacto en el borde a partir de un punto emisor y de otro que define la dirección de cada rayo. La otra herramienta personalizada permite calcular la trayectoria nueva después de cada impacto.
Los cálculos iterativos del archivo consumen recursos y hay que ser paciente a la hora de observar las modificaciones producidas al variar las posiciones de los dos puntos que definen la trayectoria inicial (P y Q).

Billar con forma de deltoide

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billar con forma de deltoide



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Billar con forma de deltoide.

En su diseño se han utilizado dos herramientas personalizadas, una para calcular el siguiente impacto en el borde a partir de un punto emisor y de otro que define la dirección de cada rayo. La otra herramienta personalizada permite calcular la trayectoria nueva después de cada impacto.
Los cálculos iterativos del archivo consumen recursos y hay que ser paciente a la hora de observar las modificaciones producidas al variar las posiciones de los dos puntos que definen la trayectoria inicial (P y Q).

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