potencia de un punto

Eje radical de dos circunferencias

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Obtención algebraica del eje radical de dos circunferencias (no concéntricas):

El eje radical es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto de dos circunferencias fijas.

Expresión analítica de la potencia de un punto ($P = (x_1, y_1)$) respecto de una circunferencia de centro $(a, b)$ y radio $R$:
La ecuación de la circunferencia es la siguiente: $(x-a)^2+(y-b)^2-R^2=0$, y la potencia del punto P se puede calcular como $D^2 - R^2$, es decir, $potencia(P, c) = (x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 - R^2$.

Potencia de un punto respecto de una circunferencia

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imagen potencia de un punto respecto de circunferencia

Se consideran una circunferencia y un punto P. Trazamos una recta cualquiera que pase por P y corte a la circunferencia en los puntos A y A'.
El producto de las distancias PA y PA' es constante y solo depende de la circunferencia y de la posición del punto P, no de la recta elegida para obtener los puntos de intersección. Dicho valor se conoce como potencia de P respecto de la circunferencia.
Es consecuencia de la semejanza de triángulos que muestra la aplicación interactiva.

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