rectificación

Desenrollando la espiral logarítmica o equiangular

Etiquetas: 

desenrollando una espiral logarítmica

La aplicación muestra cómo se desenrolla una espiral logarítmica ($R= e^{k \theta}$) con parámetro k positivo fijando un punto P de la misma, en este caso el correspondiente a $\theta = 2 \pi$, y girando y desplazando la espiral para desenrollar su parte interior (longitud finita, pero infinitas vueltas) sobre un segmento.
El segmento tiene por extremo al punto P y el otro extremo es el punto de intersección de la vertical que pasa por el polo con la recta tangente a la curva en P. Es sabido que la longitud de ese segmento coincide con la longitud de la curva desde P hasta el punto correspondiente a $\theta= - \infty$ (http://matematicainteractiva.com/rectificacion-de-la-espiral-equiangular-o-logaritmica).

Rectificación de la espiral equiangular o logarítmica

Etiquetas: 

rectificación de la espiral logarítmica

La aplicación muestra que en el caso de una espiral logarítmica ($R(\theta) = e^{k \theta}$) la longitud de la curva correspondiente al intervalo $[-\infty, a]$ es finita.
En la aplicación hemos usado el valor fijo $a = 2 \pi$ que corresponde al punto P de la curva.
Hemos utilizado la clásica propiedad de las espirales equiangulares o logarítmicas consistente en que en este tipo de espirales la constante k coincide con la cotangente del ángulo que forma la recta tangente con el radio (http://www.matematicainteractiva.com/curvas-polares-angulo-recta-tangente-y-longitud-del-arco).
Se comprueba mediante cálculos sencillos que esa longitud, la longitud de esa parte de la espiral, coincide con la longitud AP interceptada sobre la recta tangente por el eje horizontal y por la recta perpendicular que pasa por el polo.
El razonamiento se ha hecho para el caso $k>0$ que corresponde a espirales que se enrollan hacia la izquierda al aumentar el ángulo. Para el caso de valores negativos de la constante k, el razonamiento es similar (espirales logarítmicas que se enrollan hacia la derecha).

Subscribe to RSS - rectificación