triángulo

Problema de tangencias en circunferencias interiores a un cuadrado

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problema cuadrilátero

El problema:
Dado un cuadrado ABCD, determinar la posición del punto N sobre el lado CD del cuadrado de forma que el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo ABN y el radio de la circunferencia que es tangente a los lados AN, NC y CD del cuadrilátero ANCD sean iguales.

Generalización del problema del triángulo y cuatro circunferencias inscritas

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triángulo y cuatro circunferencias inscritas

El archivo que se muestra aquí es una generalización del archivo http://matematicainteractiva.com/problema-triangulo-y-circunferencias-cuatro-circunferencias-inscritas-y-tangentes-entre-si en el que se pueden encontrar todas las explicaciones teóricas.

En este archivo la construcción no se hace para los radios concretos 1, 4 y 9, sino para radios cualesquiera establecidos por el usuario. Debe tenerse en cuenta, que para algunos valores concretos de los radios elegidos la construcción no es posible.

Este problema fue planteado originalmente en uno de los foros de discusión de Geogebra: http://www.geogebra.org/forum/viewtopic.php?f=2&t=34296

Problema: triángulo y cuatro circunferencias inscritas y tangentes entre sí

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imagen del triángulo obtenido y de las cuatro circunferencias

En el foro de Geogebra un usuario ha planteado la siguiente cuestión (http://www.geogebra.org/forum/viewtopic.php?f=2&t=34296):
Let ∆XYZ be any triangle with a radius of incircle, r
Let a be the radius of the circle tangent to r, XY, and XZ
Let b be the radius of the circle tangent to r, XY, and YZ
Let c be the radius of the circle tangent to r, XZ, and YZ
Construct ∆XYZ if a = 1 cm, b = 4 cm, and c= 9 cm

Baricentro

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triángulo con medianas y baricentro

Las medianas de un triángulo son los segmentos determinados por los vértices y los puntos medios de los lados opuestos del triángulo.
Es conocido que las tres medianas se cortan en un punto llamado baricentro y que el baricentro, también llamado centroide, es el centro de masa del triángulo y son conocidos los experimentos prácticos de Arquímedes (http://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedes) con la finalidad de localizar el centro de gravedad usando planchas metálicas finas y uniformes con forma de triángulo.

Teorema de Ceva

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triángulo, cevianas y propiedad métrica que garantiza la concurrencia de las tres cevianas

Este famoso teorema se debe a Giovanni Ceva que lo publicó en 1678.
Se denomina cevianas a los segmentos que unen un vértice de un triángulo con un punto cualquiera del lado opuesto.
Veamos el teorema de Ceva y su recíproco.

TEOREMA DE CEVA:
En un triángulo ABC, si las cevianas AX, BY y CZ son concurrentes se verifica: $\frac{BX}{XC} \times \frac{CY}{YA} \times \frac{AZ}{ZB} = 1$
Demostración: más abajo

Demostración sin palabras: suma de los ángulos de un triángulo

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demostración visual, suma de los ángulos de un triángulo

La aplicación interactiva permite comprobar que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º.

La demostración en cuestión es muy famosa y la he recordado al ver el vídeo que ha realizado el profesor Ángel de la Calle: http://www.youtube.com/watch?v=qdISZa7Y0v8
Ese vídeo es el que me ha impulsado a diseñar una aplicación con Geogebra para mostrar la misma situación.

Teorema de Morley

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triángulo de Morley

Se trata de un célebre teorema geométrico descubierto por F. Morley aproximadamente en 1899.
Existen numerosas demostraciones y aquí vamos a mostrar la que expone Coxeter (Coxeter, 1961) y añadimos una aplicación interactiva para mostrar la situación y permitir la experimentación correspondiente.
El teorema:
Los tres puntos de intersección las rectas adyacentes que trisecan los tres ángulos de un triángulo ABC determiinan un triángulo equilátero.

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