Evoluta de la cicloide

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La aplicación interactiva muestra cómo se genera la evoluta de una cicloide y constituye un estudio de la cicloide previo a la elaboración de un péndulo de Huygens que mostraremos en otro archivo.

Ver explicaciones de aspectos matemáticos.

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ASPECTOS MATEMÁTICOS:
Partiremos de una cicloide de ecuaciones paramétricas: $a:\left.
\begin{array}{l}
x = R t - R sen(t)\\
y= R- R cos(t)
\end{array}
\right \}$
con $ t \in \left [ 0, 2 \pi \right ] $
Calculamos $x'(t) = R - R cos(t)$ e $y'(t) = R sen(t)$
A continuación vamos a calcular la pendiente de la recta normal a la curva en un punto de parámetro t.
$m = -\frac{1}{\frac{y'(t)}{x'(t)}} = \frac{cos(t)-1}{sen(t)}$
Calculamos ahora la ecuación de la recta normal a la curva en un punto de parámetro t.
$y-R + R cos(t) = \frac{cos(t) - 1}{sen(t)} (x- R t + R sen(t))$
Después de operar y simplificar se obtiene: $x cos(t) - x - y sen(t) - R t cos(t) + R t =0$ que constituye una familia de rectas para valores del parámetro: $t \in \left [ 0, 2 \pi \right ]$.

Para determinar la envolvente determinada por esta familia de rectas hay que derivar respecto del parámetro (en este caso $t$) y eliminar el parámetro usando la ecuación de la familia de rectas y la obtenida al derivar.
Derivando respecto del parámetro t obtenemos: $-x sen(t) - y cos(t) - R cos(t) + R t sen(t) + R = 0$

La forma habitual de tratar este asunto nos llevaría a eliminar t en el siguiente sistema:
$\left \{ \begin{array}{l}
x cos(t) - x - y sen(t) - R t cos(t) + R t =0\\
-x sen(t) - y cos(t) - R cos(t) + R t sen(t) + R = 0
\end{array}
\right. $

$\left \{ \begin{array}{l}
x (cos(t) - 1) cos(t) - y sen(t) cos(t)= R t cos^2(t) - Rt cos(t)\\
x sen^2(t) + y sen(t) cos(t) = -R sen(t) cos(t) + Rt sen^2(t) + R sen(t)
\end{array}
\right. $

$x(cos^2(t) - cos(t) + sen^2(t)) = R t- R t cos(t) - R sen(t) cos(t) + R sen(t)$
$x(1- cos(t)) = R t - R t cos(t) + R sen(t)(1 - cos(t))$
$x(1- cos(t)) = R t (1- cos(t)) + R sen(t) (1- cos(t))$
$x = R t + R sen(t)$
y, para acabar sustituimos el valor obtenido para $x$ en la segunda ecuación del sistema para obtener al final: $y = -R + R cos(t)$
Todo lo anterior significa que el punto $Y = ( R t + R sen(t) , -R + R cos(t)) $ es el punto de contacto de cada recta normal con la curva envolvente (evoluta). Por tanto la ecuación de la envolvente es:
$b:\left.
\begin{array}{l}
x = R t + R sen(t)\\
y= -R+ R cos(t)
\end{array}
\right \}$
con $ t \in \left [ 0, 2 \pi \right ] $
Se comprueba fácilmente que esta curva es una cicloide trasladada horizontalmente $R \pi$ y verticalmente $-2 R$ y la situación se puede observar en la aplicación interactiva que aparece en esta página.
Nos concentremos ahora en los puntos X e Y. X es el punto de la cicloide original correspondiente a un valor de parámetro igual a t e Y es el punto correspondiente situado sobre la cicloide-evoluta y obtenido para el mismo valor del parámetro t.

Vamos a analizar algunos aspectos métricos.
Calculamos la longitud del segmento XY, $XY=\sqrt{(2 R sen(t))^2+(-2 R+ 2 R cos(t))^2 }=\sqrt{8 R^2 - 8 R^2 cos(t)} =$
$= \sqrt{8 R^2(1- cos(t))} =\sqrt{16 R^2 sen^2(\frac{t}{2})}$
$XY= 4 R sen(\frac{t}{2})$

Vamos a calcular ahora la longitud del arco OY sobre la cicloide-envolvente:
Arco OY = $\int_{t}^{\pi} \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} dt = \int_{t}^{\pi} \sqrt{2 R cos(\frac{t}{2})} dt = \left [2 R sen(\frac{t}{2}) \right ]_{t}^{\pi}$
Arco OY = $4 R(1 - sen(\frac{t}{2}))$

Recordemos que la longitud de una cicloide es igual a cuatro veces su diámetro (experimentos previos de Galileo y demostración por Christopher Wren en 1658).
Calculemos ahora: XY + Arco OY = $4 R sen(\frac{t}{2}) + 4 R(1 - sen(\frac{t}{2})) = 4 R$, es decir la suma es constate e igual a la mitad de la cicloide completa.
Resumiendo: la suma es constante y XY + Arco OY = longitud de una de las mitades de la cicloide-evoluta. (Esto por otra parte significa que la cicloide superior es la curva involuta de la inferior).

La propiedad que acabamos de demostrar nos va a servir de punto de partida para el diseño de un péndulo de Huygens, que tiene la propiedad de tener un periodo constante, independientemente de la amplitud del movimiento descrito por el péndulo.

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