Fractal Generado en Billar Agujereado

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Generación de un fractal a partir de un billar elíptico agujereado

En un billar elíptico cada trayectoria elemental (determinada por dos puntos de impacto: punto emisor y siguiente impacto) queda caracterizada por el punto emisor situado sobre la elipse y por el ángulo de inclinación de su trayectoria respecto del diámetro mayor de la elipse.
Los estados de fase inicial quedan determinados por dos parámetros:

  • el primero, sobre el eje horizontal, viene dado por el parámetro t correspondiente a la posición del punto situado sobre el borde ((a cos(t), b sin(t)), siendo a y b las longitudes de los semiejes de la elipse,
  • el segundo es un valor angular (expresado en radianes) que indica la inclinación de la trayectoria respecto del diámetro y se representa sobre el eje vertical

Se estudian órbitas (trayectorias determinadas por reflexiones sucesivas) y se anota el número de la iteración en la que la bola cae en el agujero central de la elipse (si es que cae) .
El número de iteración se usa para colorear el punto del estado de fases correspondiente a la trayectoria inicial. Si la órbita del punto del espacio de fases no resulta atraida por el agujero se le asigna el color negro.
El radio del agujero central se puede modificar y para valores muy pequeños se obtiene "polvo fractal".

Las ideas básicas se han obtenido del artículo no demasiado reciente: http://www.uiowa.edu/~vigre/reu/pdfs/billiards.pdf y el archivo se ha diseñado deprisa y sin depurarlo demasiado.
La intención es la de mostrar que, con la técnica de puntos móviles con traza y usando la hoja de cálculo, se pueden generar imágenes fractales con Geogebra.

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