Geogebra

Cuaterna armónica

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cuaterna armónica

Dados dos puntos A y B, se dice que los puntos M y N situados sobre la recta determinada por A y B separan armónicamente a los puntos A y B si las razones de las distancias a A y B desde M y N son iguales y de signo opuesto (uno de los puntos M y N es interior al segmento AB y el otro exterior).
Esto es equivalente a:
$\frac{MA}{MB}=- \frac{NA}{NB}$

De la igualdad anterior se deduce: $\frac{AM}{AN}=-\frac{BM}{BN}$, por lo que también A y B separan armónicamente a los puntos M y N.

En la situación descrita se dice que ABMN están en cuaterna armónica.

Experimentando con elipses rodantes

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elipses tangentes rodando una sobre la otra

Experimentos con elipses rodantes y generación de curvas epitrocoides elípticas.

En este archivo hemos usado Geogebra para experimentar con mecanismos elípticos rodantes. Podemos generar curvas epitrocoides tipo cardioide y nefroide (ver información en la Wikipedia inglesa), pero no a partir de circunferencias rodantes, sino de elipses rodantes.
El tamaño de las elipses se puede modificar, así como la velocidad de la animación.

Catenaria determinada por dos puntos de sujeción y por la longitud de la misma

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imagen de catenaria ajustable

En esta página se puede ver una aplicación realizada con Geogebra que permite visualizar una curva catenaria determinada por la posición de los dos puntos de sujeción de la cadena, puntos no situados necesariamente a la misma altura, y por la longitud del arco de catenaria que determinan.
En primer lugar puede verse la aplicación y después, más abajo, las explicaciones técnicas.

Triángulo áureo y su espiral equiangular (no áurea)

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Espiral triángulo áureo

TRIÁNGULO ÁUREO Y SUCESIÓN DE TRIÁNGULOS ÁUREOS:
Consideremos uno de los clásicos triángulos áureos. Se trata del triángulo isósceles de ángulos 36º, 72º y 72º que satisface la propiedad $\frac{BC}{AB}= \Phi$. Este triángulo isósceles se conoce con el nombre de triángulo áureo.

Problema temporal con las fórmulas LaTeX [Solucionado]

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PROBLEMA CON LATEX (librería MahtJax)

Existe un pequeño problema con la visualización de las fórmulas escritas con LaTeX.
Detecté el problema ayer por la tarde (21 de julio) y creo que está fallando desde hace tres o cuatro días. Esta noche va a estar solucionado.
El problema reside en un enlace a una librería (MATHJAX) que es la que uso para generar las fórmulas LaTeX. Un enlace a una URL externa ha dejado de funcionar debido a un cambio en la ubicación del servidor externo y por un cambio de versión.

Desenrollando la espiral logarítmica o equiangular

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desenrollando una espiral logarítmica

La aplicación muestra cómo se desenrolla una espiral logarítmica ($R= e^{k \theta}$) con parámetro k positivo fijando un punto P de la misma, en este caso el correspondiente a $\theta = 2 \pi$, y girando y desplazando la espiral para desenrollar su parte interior (longitud finita, pero infinitas vueltas) sobre un segmento.
El segmento tiene por extremo al punto P y el otro extremo es el punto de intersección de la vertical que pasa por el polo con la recta tangente a la curva en P. Es sabido que la longitud de ese segmento coincide con la longitud de la curva desde P hasta el punto correspondiente a $\theta= - \infty$ (http://matematicainteractiva.com/rectificacion-de-la-espiral-equiangular-o-logaritmica).

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