Geogebra

Circunferencia de los nueve puntos: centro y radio

Etiquetas: 

circunferencia de los nueve puntos: centro y radio
  1. Radio:
    Al aplicar una homotecia de centro el baricentro del triángulo ABC y de razón $-\frac{1}{2}$ la circunferencia se transforma en otra circunferencia que pasa por los puntos medios de los lados (A', B', C'). Esto es consecuencia inmediata de la propìedad métrica de las medianas y el baricentro (AG=2GA').

Circunferencia de los nueve puntos

Etiquetas: 

circunferencia de los nueve puntos

Circunferencia de los nueve puntos o de Feuerbach

Los puntos A', B', C' son los puntos medios de los lados.
D, E, F son los pies de las alturas (proyección del ortocentro sobre los lados).
A'', B'', C'' son los puntos medios de los segmentos determinados por el ortocentro y los tres vértices del triángulo.

Recta de Wallace-Simson

Etiquetas: 

Dado un triángulo y un punto, si se proyecta ortogonalmente el punto sobre las rectas que contienen los lados del triángulo, se obtiene un nuevo triángulo llamado triángulo pedal. Todos los puntos excepto los que están situados sobre la circunferencia circunscrita al triángulo.
Al proyectar los puntos de la circunferencia circunscrita, sucede que los tres puntos obtenidos están alineados y la recta recibe el nombre de recta de Simson-Wallace.

Tiene numerosas propiedades interesantes y en otras aplicaciones mostraremos alguna de ellas.

Eje radical de dos circunferencias

Etiquetas: 

Obtención algebraica del eje radical de dos circunferencias (no concéntricas):

El eje radical es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto de dos circunferencias fijas.

Expresión analítica de la potencia de un punto ($P = (x_1, y_1)$) respecto de una circunferencia de centro $(a, b)$ y radio $R$:
La ecuación de la circunferencia es la siguiente: $(x-a)^2+(y-b)^2-R^2=0$, y la potencia del punto P se puede calcular como $D^2 - R^2$, es decir, $potencia(P, c) = (x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 - R^2$.

Potencia de un punto respecto de una circunferencia

Etiquetas: 

imagen potencia de un punto respecto de circunferencia

Se consideran una circunferencia y un punto P. Trazamos una recta cualquiera que pase por P y corte a la circunferencia en los puntos A y A'.
El producto de las distancias PA y PA' es constante y solo depende de la circunferencia y de la posición del punto P, no de la recta elegida para obtener los puntos de intersección. Dicho valor se conoce como potencia de P respecto de la circunferencia.
Es consecuencia de la semejanza de triángulos que muestra la aplicación interactiva.

Bisección de un triángulo

Etiquetas: 

bisecciones de un triángulo

Hace un tiempo estuve trabajando en un problema interesante. Se trata de encontrar todas las rectas que dividen un triángulo en dos partes con áreas equivalentes.

La obtención de dichas rectas a partir de un punto situado sobre uno de los lados constituye un problema creativo que presenta muchísimos retos nuevos.

Inversor de Peaucellier

Etiquetas: 

mecanismo inversor Peaucellier

Mecanimo inversor de Peaucellier

Se trata de un mecanismo en el que el punto Q es el inverso del punto P respecto de una circunferencia de inversión.
Las varillas rojas miden $a$ unidades y las azules $b$.
La demostración es sencilla y el radio de la circunferencia de inversrión es$\sqrt{a^2 - b^2}$

Si el punto P describe un arco de una circunferencia que pasa por el centro de inversión, el movimiento del punto Q, inverso de P respecto de la circunferencia, describe un movimiento rectilíneo.
Este mecanismo historicamente ha suscitado mucho interés, tanto desde el punto de vista teórico como desde el punto de vista práctico.

Compás áureo de tres puntas

Etiquetas: 

compas áureo de tres puntas

Aquí muestro una applet interactivo con un compás áureo de tres puntas. Se trata de un compás que permite comprobar si dos medidas están en la proporción o razón áurea.

El compás se puede mover y se usa haciendo coincidir las puntas exteriores del compás con los extremos de un segmento u objeto de otro tipo. La punta interior muestra un punto que divide al segmento en la proporción áurea.
Para cambiar la posición del compás se pueden usar los siguientes controles de la aplicación interactiva:

Estudio de reflexiones en las espirales logarítmicas- archivo 3

Etiquetas: 

Reflexiones sucesivas en la espiral logarítmica

Aquí muestro el tercer archivo interactivo de la serie. Es el menos vistoso de los tres archivos, pero puede ser instructivo porque en su diseño se han utilizado las dos herramientas personalizadas descritas en los dos archivos anteriores de la serie y además porque igual que en los anteriores se hace uso de la hoja de cálculo.

Estudio de reflexiones en las espirales logarítmicas- archivo 2

Etiquetas: 

Reflexiones espiral logarítmica

En la aplicación interactiva pueden visualizarse reflexiones sucesivas de un rayo en una espiral logarítmica.
Más abajo añadimos unas breve explicación sobre el procedimiento seguido para diseñar las dos herramientas personalizadas que hemos usado en el archivo de Geogebra.

Páginas