Herón de Alejandría: Área de un Triángulo

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La llamada fórmula de Herón permite calcular el área de un triángulo a partir de las medidas de sus lados. Coxeter indica que la fórmula ya era conocida por Arquímedes.

Usando el conocido teorema del coseno: $a^2 = b^2+ c^2- 2 b c cos(A)$, podemos calcular $cos(A) = \frac{b^2 + c^2- a^2}{2 b c}$.
A partir del valor del coseno se puede calcular el valor del seno usando la relación fundamental de trigonometría ($sen^2(A)+cos^2(A) = 1$): $sen^2(A) = \frac{-a^4-b^4 - c^4 + 2 a^2b^2+2 b^2 c^2+2 c^2 a^2}{4 b^2 c^2}$
También es conocido que el área de un triángulo se puede obtener a partir de las longitudes de dos de sus lados y del valor del ángulo que determinan esos dos lados.
En la imagen siguiente: $\text{Área}= \frac{1}{2}c \times h $. En el triángulo rectángulo AHC tenemos: $h=b sen(A)$ y de aquí y de la igualdad anterior se deduce la célebre fórmula:
$\text{Área}= \frac{1}{2}b \times c \times sen(A) $

dibujo de triángulo con altura sobre la base

Utilizando los resultados anteriores podemos escribir: $\text{Área}= \frac{1}{2}b \times c \sqrt{\frac{-a^4-b^4 - c^4 + 2 a^2b^2+2 b^2 c^2+2 c^2 a^2}{4 b^2 c^2}}$
$\text{Área}= \frac{1}{4 }\sqrt{-a^4-b^4 - c^4 + 2 a^2b^2+2 b^2 c^2+2 c^2 a^2} $
$\text{Área}= \frac{1}{4 }\sqrt{ (a + b+ c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} $
Llamando $s$ al semiperímetro:
$\text{Área}= \frac{1}{4 }\sqrt{ 2 s(2s-2a)(2s-2b)(2s - 2c)} $, y, por último obtenemos la célebre fórmula de Herón:
$\text{Área}= \sqrt{ s(s- a)(s - b)( s - c)}$

BIBLIOGRAFÍA Y ENLACES:
Coxeter, Introduction to Geometry Second Edition, John Wiley & Sons, (p. 12)
Universidad de St. Andrews, biografía de Herón: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Heron.html (acceso 28-02-2013)

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