Inversor de Hart

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Inversor de Hart:
Se trata de un dispositivo que permite obtener la posición inversa de un punto respecto de cierta circunferencia. Es decir si el punto P ocupa una posición concreta, el otro, Q, es su inverso respecto de una circunferencia concreta y fija de centro O.
Es sabido que si un punto se mueve sobre una circunferencia no concéntrica con la circunferencia que define la inversión, su punto inverso se mueve sobre una recta. Ello permite transformar un movimiento circular en rectilíneo.

El dispositivo se caracteriza por:

  • las articulaciones AB y DC tienen la misma longitud,
  • las articulaciones AD y BC tienen la misma longitud,
  • los puntos O, P y Q tienen posiciones fijas en los brazos AB, AD, CB, respectivamente, de forma que $\frac{AO}{OB}=\frac{AP}{PD}=\frac{CQ}{QB}$
  • el punto O tiene una posición fija sobre una circunferencia de centro S
  • el punto P describe un arco sobre la circunferencia mencionada en el apartado anterior
  • el punto Q describe un movimiento rectilíneo al cambiar la posición del punto P

Ver justificación de la propiedad (más abajo).

Justificación de la propiedad del inversor de Hart

esquema del inversor de Hart para demostrar la propiedad

  1. Por ser AD = BC, AB = DC y AC medida común, resulta que los triángulos ABC y ADC son congruentes.
  2. $\frac{OP}{BD}=\frac{AO}{AB}$ y $\frac{OQ}{AC}= \frac{OB}{AB}$ de lo que resulta: $OP \times OQ = \frac{AO \times OB \times AC \times BD}{(AB)^2}$
  3. Todas las medidas que aparecen en la última fracción son constantes excepto el producto $AC \times BD$ que vamos a analizar con más detalle:
  4. $AC \times BD = (AF + FC)(AF - FC)= AF^2 - FC^2$ (*), pero:
  5. $AF^2 + FD^2 = AD^2$ y $FC^2 + FD^2 = DC^2$, restando miembro a miembro: $AF^2 - FC^2 = AD^2- DC^2$ de lo que se deduce que la diferencia (*) es constante y, por tanto: $OP \times OQ = \text{constante}$
  6. Es decir, P y Q son puntos inversos respecto de una circunferencia de centro S y radio $\frac{\sqrt{ AO \times OB \times (AD^2 - DC^2)}}{(AB)}$

Bibliografía y enlaces:

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