Problema: triángulo y cuatro circunferencias inscritas y tangentes entre sí

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En el foro de Geogebra un usuario ha planteado la siguiente cuestión (http://www.geogebra.org/forum/viewtopic.php?f=2&t=34296):
Let ∆XYZ be any triangle with a radius of incircle, r
Let a be the radius of the circle tangent to r, XY, and XZ
Let b be the radius of the circle tangent to r, XY, and YZ
Let c be the radius of the circle tangent to r, XZ, and YZ
Construct ∆XYZ if a = 1 cm, b = 4 cm, and c= 9 cm

En http://matematicainteractiva.com/generalizacion-del-problema-del-triangulo-y-cuatro-circunferencias-inscritas hay disponible una versión interactiva más general de este problema que permite construir el triángulo para radios establecidos por el usuario. En cualquier caso, para entender esa construcción es conveniente leer antes las explicaciones teóricas de esta página.

El usuario que ha planteado la cuestión (@jonbenedick) utiliza los foros para plantear problemas interesantes y complicados relacionados con cuestiones geométricas de triángulos. Los problemas que plantea no suelen tener solución por métodos de regla y compás; suelen requerir procedimientos algebráicos y numéricos.
Este usuario no colabora en el foro atendiendo dudas y problemas de otros usuarios, y creo que por eso los participantes habituales de los foros de Geogebra están dejando de responder a sus peticiones.

En cualquier caso, el problema mencionado es interesante y lo he resulto después de unas cuantas vueltas y he decidido exponer aquí la solución y el método que yo he seguido para llegar a ella.

El problema es el siguiente:
Se considera un triángulo ABC, su circunferencia inscrita y las tres circunferencias interiores al triángulo que son, respectivamente, tangentes a dos lados del triángulo y a la circunferencia inscrita. Se sabe que los radios de estas tres circunferencias miden 1, 4 y 9 unidades, y lo que se desea es averiguar el radio de la circunferencia inscrita y las longitudes de los lados del triángulo.

La siguiente imagen ilustra la situación, pero las medidas de los radios de las tres circunferencias no son 1, 4 y 9. Únicamente sirve para ilustrar la situación.

Visualización del problema: triángulo y circunferencias

Analicemos el asunto con algo de detalle.
Al semiángulo del vértice A lo designaremos por $a$ y el valor del radio de la circunferencia pequeña que abarca lo hemos designado por $k$ en el dibujo anterior. Supondremos que esa circunferencia es la de radio 1, es decir $k=1$. Tenemos así (1):
$$\frac{R-1}{R+1} = sen(a)$$
Análogamente, designado por $b$ y $c$ los semiángulos de los vértices B y C y suponiendo que las circunferencias pequeñas correspondientes a esos vértices son de radio 4 y 9, respectivamente, tenemos (2) y (3):

$$\frac{R-4}{R+4} = sen(b)$$

$$\frac{R-9}{R+9} = sen(c) = sen(\frac{\pi}{2} -a -b) = cos(a+b)$$

La última igualdad ( igualdad 3) se puede reescribir del siguiente modo:

$\frac{R-9}{R+9} = cos(a) cos(b) - sen(a) sen(b)$, de donde:

$\frac{R-9}{R+9} + \frac{R-1}{R+1}\frac{R-4}{R+4}=\sqrt{1-(\frac{R-4}{R+4})^2} \sqrt{1-(\frac{R-1}{R+1})^2}$

Sin grandes complicaciones, a pesar del aspecto poco agradable de la ecuación, resulta:

$\frac{R-9}{R+9} + \frac{R-1}{R+1}\frac{R-4}{R+4} = \sqrt{\frac{16 R}{(R+4)^2} \frac{4R}{(R+1)^2}}$

$\frac{R-9}{R+9} + \frac{R-1}{R+1}\frac{R-4}{R+4} = \frac{ 8 R}{(R+4)(R+1)}$

Operando y eliminando la solución $R=0$, se obtiene: $R^2 - 4R-77=0$ cuyas soluciones son $R_1 = 11$ y $R_2 = -7$

La solución buscada es: $R=11$

Es decir: El radio de la circunferencia inscrita en el triángulo buscado mide 11 unidades.

Ya solo queda determinar las longitudes de los lados para construir el triángulo, asunto sencillo a partir de la semejanza de los triángulos $\triangle{AHD}$ y $\triangle{AIO}$:

$\frac{x+2k+R}{R}=\frac{x+k}{k}$
Obtenemos $x = \frac{2k^2}{R-k}$
Utilizando ahora el teorema de Pitágoras en el triángulo $\triangle{AIO}$, tenemos:
$L^2 = (\frac{2k^2}{R-k} + 2k + R)^2 - R^2$
Finalmente: $L = \frac{2R \sqrt{Rk}}{R-k}$
El resultado anterior, sustituyendo k por 1, 4 y 9 permite obtener las longitudes de los segmentos que unen los vértices A, B, C del triángulo original con los puntos de tangencia de los lados con la circunferencia inscrita.
$L_1 = \frac{22\sqrt{11}}{10}$

$L_2 = \frac{22\sqrt{44}}{7}$

$L_3 = \frac{22\sqrt{99}}{2}$

Otro problema interesante es el del estudio de la existencia o no de solución para el caso general de radios R_1, R_2, R_3 cualesqiera. Escribiré los detalles en los próximos días. He añadido una explicación en el foro de Geogebra: https://www.geogebra.org/forum/viewtopic.php?f=2&t=34296&p=123738#p123738
En la siguiente aplicación se ha realizado la construcción del triángulo usando las medidas anteriores y se han construido las cuatro circunferencias:

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