Recta de Wallace-Simson

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Dado un triángulo y un punto, si se proyecta ortogonalmente el punto sobre las rectas que contienen los lados del triángulo, se obtiene un nuevo triángulo llamado triángulo pedal. Todos los puntos excepto los que están situados sobre la circunferencia circunscrita al triángulo.
Al proyectar los puntos de la circunferencia circunscrita, sucede que los tres puntos obtenidos están alineados y la recta recibe el nombre de recta de Simson-Wallace.

Tiene numerosas propiedades interesantes y en otras aplicaciones mostraremos alguna de ellas.

La aplicación que se puede ver aquí permite ver las rectas y algunos detalles relacionados con la demostración del hecho comentado.

Para demostrar el resultado hay que tener en cuenta tres detalles:

  1. por razones de perpendicularidad el cuadrilátero PWCV está inscrito en una circunfernecia de diámetro PC,
  2. por razones de perpendicularidad el cuadrilátero PAUV están inscrito en una circunferencia de diámetro PA,
  3. los ángulos PCB y PAB son suplementarios por ser ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia

Consideremos el ángulo WVC (color rosado). Para demostrar que las tres proyecciones U, V y W están alineadas hay que comprobar que el ángulo mencionado coincide con el ángulo AVU (verde). Veámoslo:
$WVC =^{(1)} = WPC = 90º - PCW = 90º - (180º-PCB)= $
$= PCB-90º =^{(3)} = 180º - PAB - 90º = 90º - PAB = $
$=APU =^{(2)} = AVU$

Bibliografía e información relacionada:

  1. Miguel de Guzmán, An Extension of the Wallace-Simson Theorem: Projecting in Arbitrary Directions
  2. Miguel de Guzmán, Información muy interesante con varios enlaces : http://www.mat.ucm.es/catedramdeguzman/old/08sabormat/experdescgeomet/08...
  3. H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer, Geometry Revisited, New Mathematical Library, de la MAA (pág. 40
  4. Propiedad interesante relacionada con la inclinación de las rectas de Simson de dos triángulos distintos inscritos en la misma circunferencia: http://mathforum.org/library/drmath/view/55322.html
  5. Biografía de Wallace (servidor de la Universidad de St Andrews, Escocia): http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Wallace.html
  6. Biografía de Simson (servidor de la Universidad de St Andrews, Escocia): http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Simson.html

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