Rectificación de la espiral equiangular o logarítmica

Etiquetas: 

La aplicación muestra que en el caso de una espiral logarítmica ($R(\theta) = e^{k \theta}$) la longitud de la curva correspondiente al intervalo $[-\infty, a]$ es finita.
En la aplicación hemos usado el valor fijo $a = 2 \pi$ que corresponde al punto P de la curva.
Hemos utilizado la clásica propiedad de las espirales equiangulares o logarítmicas consistente en que en este tipo de espirales la constante k coincide con la cotangente del ángulo que forma la recta tangente con el radio (http://www.matematicainteractiva.com/curvas-polares-angulo-recta-tangente-y-longitud-del-arco).
Se comprueba mediante cálculos sencillos que esa longitud, la longitud de esa parte de la espiral, coincide con la longitud AP interceptada sobre la recta tangente por el eje horizontal y por la recta perpendicular que pasa por el polo.
El razonamiento se ha hecho para el caso $k>0$ que corresponde a espirales que se enrollan hacia la izquierda al aumentar el ángulo. Para el caso de valores negativos de la constante k, el razonamiento es similar (espirales logarítmicas que se enrollan hacia la derecha).

BIBLIOGRAFÍA:
Eli Maor, E: The Story of a Number, 1994, Princeton University Press, p. 209

Añadir nuevo comentario