Reflexiones interiores en circunferencia (billar circular)

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En esta web ya existe algún artículo en el que se habla de reflexiones interiores en una circunferencia (también se han tratado reflexiones en elipses y en otras curvas cerradas).
En ocasiones anteriores el planteamiento usado se basaba en la utilización de la recta tangente (o de la normal) en el punto del impacto sobre la curva.

En esta ocasión el planteamiento es distinto y más ligero desde el punto de vista computacional.

La aplicación interactiva que se puede ver en la parte inferior de esta página funciona bien. Inicialmente la diseñé para que mostrarara también la hoja de cálculo, pero, sorprendentemente, la actualización del archivo al modificar la posición de los puntos A y B era muy lenta (más bien, lentísima), así que he optado por mostrar el archivo solo con la vista gráfica.

Utilizaremos Geogebra y partimos de una circunferencia centrada en el origen y de radio 5 unidades. Dispondremos un punto sobre el círculo (A = PointIn[x² + y² - 25 ≤ 0]) y un punto B sobre la circunferencia que será el punto del primer impacto (al emitir un rayo desde A en dirección a él).
Utilizaremos un punto auxiliar llamado $A_1$ que es el punto situado sobre la circunferencia y alineado con A y B (sirve para facilitar los cálculos posteriores, y se podría ocultar en la construcción, además no es un punto libre ya que depende de A y de B; no lo hemos ocultado con el fin de facilitar la comprensión de la construcción).
Calculamos el argumento de los puntos $A_1$ y B (arg($A_1$) y arg(B)), lo que nos proporciona el argumento de ambos puntos expresado en grados sexagesimales y en el intervalo (-180, 180). Estos dos valores angulares, $\alpha$ y $\beta$ los hemos convertido en radianes y los hemos colocado en las celdas B2 y B3 de la hoja de cálculo ($\frac{\alpha}{\circ}\frac{\pi}{180}$ y lo mismo para el ángulo $\beta$).

Reflexiones interiores en circunferencias y argumentos de los puntos de impacto

No es demasiado difícil convencerse de que el argumento del siguiente punto de impacto sobre la circunferencia (C), debe cumplir: argumento de C = $2 \beta - \alpha$ (véase la imagen anterior). En realidad este es el único aspecto algo delicado de esta construcción.
Este valor angular se ha colocado en la celda B4, pero módulo $2\pi$ para que los ángulos no superen el valor $2\pi$. Para ello se escribe en B4 la siguiente fórmula: Mod[2B3 - B2, 2 pi]. En la celda adyacente, C4, se calculan las coordenadas del punto C: (5 cos(B4), 5 sin(B4)).
Las columnas A, B y C de la fila 4 se copian hacia abajo y los puntos obtenidos en la columna C pueden usarse para describir las trayectorias de los rayos reflejados en la columna D como vectores o como segmentos ( o se puede crear una línea poligonal; nosotros hemos usado vectores).

Moviendo los puntos de los que depende toda la construcción, los puntos A y B, se puede observar la trayectoria generada por las sucesivas reflexiones.

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