Teorema de Ceva

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Este famoso teorema se debe a Giovanni Ceva que lo publicó en 1678.
Se denomina cevianas a los segmentos que unen un vértice de un triángulo con un punto cualquiera del lado opuesto.
Veamos el teorema de Ceva y su recíproco.

TEOREMA DE CEVA:
En un triángulo ABC, si las cevianas AX, BY y CZ son concurrentes se verifica: $\frac{BX}{XC} \times \frac{CY}{YA} \times \frac{AZ}{ZB} = 1$
Demostración: más abajo

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Demostración del teorema de Ceva:
$\frac{BX}{XC}=\frac{\text{área}(ABX)}{\text{área}(AXC)}=\frac{\text{área}(PBX)}{\text{área}(PXC)}= \frac{\text{área}(ABX) - \text{área}(PBX)}{\text{área}(AXC) - \text{área}(PXC)}=$
$=\frac{\text{área}(ABP)}{\text{área}(CAP)}$

Analogamente se deduce: $\frac{CY}{YA}=\frac{\text{área}(BCP)}{\text{área}(ABP)}$ y
$\frac{AZ}{ZB}=\frac{\text{área}(CAP)}{\text{área}(BCP)}$

Multiplicando las tres igualdades anteriores se obtiene el resultado deseado.

TEOREMA RECÍPROCO:
Si tres cevianas de un triángulo ABC cumplen la relación: $\frac{BX}{XC} \times \frac{CY}{YA} \times \frac{AZ}{ZB} = 1$, entonces las tres cevianas son concurrentes.

Consideremos las dos primeras cevianas AX y BY y llamemos P a su punto de intersección . Una nueva ceviana determinada por C y pasando por P corta al lado opuesto AB en Z'.
Como consecuencia del teorema de Ceva se cumple: $\frac{BX}{XC} \times \frac{CY}{YA} \times \frac{AZ'}{ZB'} = 1$
Como además: $\frac{BX}{XC} \times \frac{CY}{YA} \times \frac{AZ}{ZB} = 1$,
resulta que: $\frac{AZ'}{Z'B} = \frac{AZ}{ZB}$ de lo que se deduce que $Z=Z'$ y por tanto las cevianas son concurrentes.

BIBLIOGRAFÍA Y ENLACES:

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