Teorema de Morley

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Se trata de un célebre teorema geométrico descubierto por F. Morley aproximadamente en 1899.
Existen numerosas demostraciones y aquí vamos a mostrar la que expone Coxeter (Coxeter, 1961) y añadimos una aplicación interactiva para mostrar la situación y permitir la experimentación correspondiente.
El teorema:
Los tres puntos de intersección las rectas adyacentes que trisecan los tres ángulos de un triángulo ABC determiinan un triángulo equilátero.

La situación: Dado el triángulo ABC, se obtiene el triángulo equilátero PQR.
triángulo de Morley

La demostración la realizaremos en sentido inverso partiendo de un triángulo arbitrario equilátero: PQR. Sobre sus lados se construyen triángulos isósceles de ángulos iguales $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$. Los triángulos isósceles son RQP', PRQ' y PQR' y los ángulos deben cumplir las siguientes condiciones:
$\alpha + \beta + \gamma = 120^{\circ} $, $ \alpha$ < $60^{\circ} $, $ \beta$ < $60^{\circ} $, $ \gamma$ < $60^{\circ} $,
El hecho de que $\alpha + \beta +\gamma+ 60^{\circ} = 180^{\circ}$ permite deducir el valor de algunos otros ángulos (por ejemplo: $\angle Q'RB = \gamma$).
Es sencillo comprobar que $\angle RAQ = 60^{\circ}-\alpha$.
Recordemos una propiedad del incentro de un tríangulo ABC. Si un punto I está situado sobre la bisectriz del vértice A, para que ese punto sea el íncentro se tiene que cumplir: $\angle BIC = 90^\circ + \frac{1}{2}A$ (la comprobación de esta propiedad es muy sencilla).
Si ahora nos fijamos en el tríangulo P'BC, vemos que el punto P está situado sobre la bisectriz del vértice P' y que el ángulo $\angle BPC = 360^\circ - 2 \alpha - \beta - \gamma= 180^\circ - \alpha = 90^\circ + (90^\circ - \alpha)= $ $90^\circ + \frac{1}{2} \angle BP'C$
Por tanto P es el incentro del triángulo BP'C y por ello BP divide al ángulo P'BC en dos ángulos iguales y CP divide al ángulo PCP' en dos ángulos iguales.
Extendiendo el razonamiento a los puntos R y Q, comprobamos que los tres ángulos de cada vértice del triángulo ABC son iguales.
En el triángulo BRP podemos calcular: $\frac{1}{3}B = 180^\circ - \alpha - 2 \beta -\gamma = 60^\circ - \beta$
Analogamente se obtienen los resultados para A y C.
De las relaciones anteriores:
$\alpha = 60^\circ - \frac{1}{3}A$, $\beta = 60^\circ - \frac{1}{3}B$ y $\gamma = 60^\circ - \frac{1}{3}C$
La conclusión es que a partir de valores adecuados de $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ se puede obtener cualquier triángulo ABC, por lo que partiendo de cualquier triángulo ABC y realizando el proceso inverso se obtiene un triángulo equilátero, tal y como afirma el teorema.

Existen multitud de pruebas distintas del teorema. Basta escribir en un buscador "demostración del teorema de Morley" para comprobarlo

BIBLIOGRAFÍA Y ENLACES:
Coxeter, Introduction to Geometry, Wiley Classics Library, 1969, pág. 23
Biografía de Frank Morley: http://www-groups.cs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Morley.html (Consulta: 08/02/2013)
Tres demostraciones distintas del Teorema de Morley: http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m308-02b/projects/hui/index.html (Consulta: 08/02/2013)

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