Triángulo áureo y su espiral equiangular (no áurea)

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TRIÁNGULO ÁUREO Y SUCESIÓN DE TRIÁNGULOS ÁUREOS:
Consideremos uno de los clásicos triángulos áureos. Se trata del triángulo isósceles de ángulos 36º, 72º y 72º que satisface la propiedad $\frac{BC}{AB}= \Phi$. Este triángulo isósceles se conoce con el nombre de triángulo áureo.

Tiene muchas propiedades interesantes. Una de ellas consiste en que al trazar la bisectriz del vértice B, el punto D obtenido sobre el lado Ac da lugar a dos nuevos triángulos isósceles, de los cuales el primero, $\triangle DAB$, tiene ángulos iguales a 36º, 72º y 72º, por lo que es semejante al triángulo inicial $\triangle ABC$ y por ello también se trata de un triángulo áureo.
Si nos fijamos en el otro triángulo, $\triangle BCD$, vemos que sus medidas angulares son 108º, 36º y 36º y se puede comprobar que $\frac{BC}{DC}=\Phi$, por lo que también se trata de un triángulo áureo, aunque de características distintas a las del triángulo inicial $\triangle ABC$

Si ahora en el triángulo $\triangle DAB$ trazamos la bisectriz correspondiente al vértice A obtenmos un nuevo punto E sobre el lado DB (ver primera imagen), lo que da lugar a un nuevo triángulo áureo $\triangle DEA$, semejante al inicial. El proceso se puede continuar indefinidamente, obteniéndose cada vez triángulos áureos semejantes al inicial y más pequeños. El factor de semejanza es $\frac{1}{\Phi}$.

triángulo áureo sucesión de triángulos áureos medianas de dos triángulos áureos sucesivos

La sucesión de triángulos áureos puede contemplarse como un proceso dinámico de fuera hacia dentro (ver segunda imagen), es decir, generación de triángulos más pequeños a partir de triángulos mayores (factor de semejanza $\frac{1}{\Phi}$), o bien se puede ver al revés, partiendo de un triángulo áureo pequeño, se van obteniendo triángulos áureos mayores que se van disponiendo hacia el exterior (factor de semejanza $\Phi$).
Sucesión de triángulos en el primer caso (ver la segunda imagen) ... -> BAC -> ADB -> DBA -> BFD -> FGB -> ...

Concentrémonos ahora en solo dos triángulos sucesivos y viendo el asunto de dentro hacía fuera: $\triangle DAB$ -> $\triangle ABC$.
Parece intuitivo que el proceso para pasar de un triángulo al siguiente consiste en aplicar un giro con centro en algún punto seguido de una dilatación (homotecia) con centro en ese punto y con factor $\Phi$. Pero, ¿qué punto es el centro de la transformación? Dibujemos las medianas DN de un triángulo y AM del siguiente. La transformación que hemos descrito debe transformar el primer triángulo en el segundo y, por las características concretas que hemos descrito (giro y dilatación), debe necesariamente transformar la primera mediana en la segunda y los ángulos que forman las medianas con los lados correspondientes no varían.
La consecuencia inmediata es que el punto de intersección de las medianas de los dos triángulos es invariante mediante la transformación indicada (una mediana se transforma en la otra) y por tanto O es el centro de giro y de la homotecia.
Solo queda averiguar cuál es el ángulo de giro. Si nos fijamos en el cuadrilátero ONBM, vemos que los ángulos en N y M suman 180º (los ángulos rosas y verdes en N y M, determinados por las medianas en N y M, son respectivamente iguales por las características de la transformación, giro y homotecia). La conclusión es que el ángulo que forman las medianas de los dos triángulos en O es suplementario del ángulo B, es decir el ángulo es igual a 108ª y este es precisamente el valor del ángulo de giro buscado, puesto que la primera mediana se tiene que transformar en la segunda.
Resumiendo: los triángulos pequeños se van transformado mediante giros de 108º con centro en O y homotecia de factor $\Phi$ con centro en O.

ESPIRAL LOGARÍTMICA ASOCIADA AL TRIÁNGULO ÁUREO:
Todo lo anterior nos permite analizar el asunto con Geogebra y ver cómo los vértices sucesivos están situados sobre una espiral logarítmica o equiangular en la que el factor de dilatación $\Phi$ corresponde a giros de 108º ( cuando ese ángulo es recto, lo que se obtiene es la espiral áurea).

BIBLIOGRAFÍA:
H.E. Huntley, The Divine Proportion, Dover 1970
http://www.emis.de/journals/NNJ/Sharp_v4n1-pt03.html (acceso en agosto de 2013)

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